Question

Розв'яжіть $\sqrt{x} -\sqrt{x-5}=1$

Answer 1

Ответ:

$x=9$

Решение:

Рассмотрим уравнение:

$\sqrt{x} -\sqrt{x-5} =1$

Отметим ОДЗ:

$\begin{cases} x\geqslant 0 \\ x-5\geqslant 0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\geqslant 0 \\ x\geqslant 5 \end{cases}\Rightarrow x\geqslant 5$

Перенесем один из корней в правую часть, изменяя знак на противоположный:

$\sqrt{x} =1+\sqrt{x-5}$

В левой и правой части записаны неотрицательные выражения, поэтому возведем эти две части в квадрат:

$\left(\sqrt{x}\right)^2 =\left(1+\sqrt{x-5}\right)^2$

$x =1+2\cdot1\cdot\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5} \right)^2$

$x =1+2\sqrt{x-5}+x-5$

$0 =2\sqrt{x-5}-4$

$2\sqrt{x-5}=4$

$\sqrt{x-5}=2$

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\sqrt{x-5}\right)^2=2^2$

$x-5=4$

$x=4+5$

$\boxed{x=9}$

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ, поэтому его выписываем в ответ.