Question

Спростіть вираз:1/а(а+1)+1/(а+1)(а+2)+...+1/(а+2020)(а+2021)​

Answer 1

Ответ:

Распишем каждую дробь в виде суммы двух простейших дробей .

$\displaystyle \bf \dfrac{1}{a\, (a+1)}=\frac{A}{a}+\frac{B}{a+1}=\frac{A(a+1)+Ba}{a\, (a+1)}\ \ \ \Rightarrow \\\\\\1=Aa+A+Ba\ \ \Rightarrow \ \ \ 0\cdot a+1\cdot a^0=(A+B)\, a+A\cdot a^0\ \ \ \Rightarrow \\\\A+B=0\qquad \ \ B=-A\qquad B=-1\\A=1\qquad \qquad \ \ A=1\qquad \quad A=1\\\\\\ \dfrac{1}{a\, (a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$            

Теперь запишем заданную сумму , записав каждую дробь в виде суммы простейших дробей . Чем больше слагаемых распишешь в виде суммы дробей, тем лучше будет видно, какие дроби взаимно уничтожаться .

$\displaystyle \bf \dfrac{1}{a\, (a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+...+\frac{1}{(a+2020)(a+2021)}=\\\\\\=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}+...+\frac{1}{a+2019}-\frac{1}{a+2020}+\frac{1}{a+2020}-\\\\\\+\frac{1}{a+2021}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2021}=\frac{a+2021-a}{a\, (a+2021)}=\frac{2021}{a\, (a+2021)}$