Question

Знайти границі послідовності.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{1}{2}$

Объяснение:

$\displaystyle \lim_{x\to 1 } \frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1}= \left[\frac{0}{0} \right] =\lim_{x\to 1 } \frac{(\sqrt{5-x}-2)'}{(\sqrt{2-x}-1)'}=\\\\\lim_{x\to 1 } \frac{(\sqrt{5-x})'-2'}{(\sqrt{2-x)})'-1'}=\lim_{x\to 1 } \frac{\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\cdot(5-x)'}{\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\cdot(2-x)'}=$

$\displaystyle\lim_{x\to 1 } \frac{-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}}{-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}}=\lim_{x\to 1 } \frac{2\sqrt{2-x}}{2\sqrt{5-x}}=\\\\ \lim_{x\to 1 } \frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{5-x}}=\frac{\sqrt{2-1}}{\sqrt{5-1}}=\frac{\sqrt 1}{\sqrt 4}=\frac{1}{2}$

Answer 2

Ответ:

Неопределённость вида  0/0 .  Домножаем на сопряжённые выражения , чтобы воспользоваться формулой разности квадратов  (а-b)(а+b)=a²-b²  .        

$\bf \lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1}=\Big[\dfrac{0}{0}\Big]=\lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{\overbrace{\bf (\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{5-x}+2)}(\sqrt{2-x}+1)}{\underbrace{\bf (\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1)}(\sqrt{5-x}+2)}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{(5-x-4)(\sqrt{2-x}+1)}{(2-x-1)(\sqrt{5-x}+2)}=\lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{(1-x)(\sqrt{2-x}+1)}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 1}\, \dfrac{\sqrt{2-x}+1}{\sqrt{5-x}+2}=\dfrac{1+1}{2+2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$