Question

Пожалуйста, помогите с решением векторов, буду очень благодарен.

Даны точки A(4;3;-2), B(2;2;1), C(-5;2;6), D(4;-4;3).
Нужно найти (AB; AC; AD) € П - ?
, BC||AB - ? и AC перпендикулярность BD - ?

Answer 1

Ответ:

Даны точки :   $\bf A(4;3;-2)\ ,\ B(2;2;1)\ ,\ C(-5;2;6)\ ,\ D(4;-4;3)$  .

Найдём смешанное произведение векторов .

$\bf \overline{AB}=(-2;-1;3)\ ,\ \ \overline{AC}=(-9;-1;8)\ ,\ \ \overline{AD}=(0;-7;5)$  

$\boldsymbol{(\overline{AB};\overline{AC};\overline{AD})=\left|\begin{array}{ccc}-2&-1&3\\-9&-1&8\\0&-7&5\end{array}\right|=-2(-5+56)+(-45)+3\cdot 63=42\ne 0}$

Так как смешанное произведение не равно 0 , то векторы не лежат в одной плоскости ( не компланарны ) .  

Проверим коллинеарность векторов  $\bf \overline{BC}$  и   $\overline{AB}$  .  Надо проверить пропорциональность координат этих векторов .

$\bf \overline{BC}=(-7;0;5)\ \ ,\ \ \ \dfrac{-7}{-2}\ne \dfrac{0}{-1}\ne \dfrac{5}{3}$        

Векторы не коллинеарны :  $\bf \overline{BC}\nparallel \overline{AB}$   .

Проверим ортогональность (перпендикулярность векторов  $\bf \overline{AC}$  и  $\bf \overline{BD}$  .  Если векторы ортогональны , то их скалярное произведение равно 0 .

$\bf \overline{BD}=(2;-6;2)\ \ ,\ \ \overline{AC}=(-9;-1;8)\\\\\overline{BD}\cdot \overline{}AC=2\cdot (-9)-6\cdot (-1)+2\cdot 8=-18+6+16=4\ne 0$  

Векторы не ортогональны .