Ответы
Для розв'язання цього рівняння найзручніше скористатися ідентичністю тригонометричного тангенсу:
\(\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}\).
Підставимо це у вираз:
\(\frac{\cos(2x)}{1+\sin(2x)} = 0\).
Отже, наше рівняння стає:
\(\frac{\frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}}{1+\frac{2\tan(x)}{1 + \tan^2(x)}} = 0\).
Тепер застосуємо спільний знаменник та спростимо вираз:
\(\frac{(1 - \tan^2(x))(1 + \tan^2(x))}{(1 + \tan^2(x))(1 + 2\tan(x))} = 0\).
Тут ми бачимо, що чисельник рівний \((1 - \tan^2(x))(1 + \tan^2(x)) = (1 - \tan^2(x))(1 - (-\tan^2(x)))\).
Відомо, що \(1 - a^2 = (1-a)(1+a)\). Тому ми можемо спростити чисельник:
\((1 - \tan^2(x))(1 + \tan^2(x)) = (1 - \tan^2(x))(1 - (-\tan^2(x))) = (1-\tan^2(x))^2\).
Тепер наше рівняння виглядає так:
\(\frac{(1-\tan^2(x))^2}{(1 + \tan^2(x))(1 + 2\tan(x))} = 0\).
Рівняння буде рівним нулю, коли чисельник дорівнює нулю:
\((1-\tan^2(x))^2 = 0\).
Тепер розв'яжемо це рівняння:
\[1 - \tan^2(x) = 0\].
\[\tan^2(x) = 1\].
\[\tan(x) = \pm 1\].
Тепер знайдемо аргументи x, для яких \(\tan(x) = 1\) та \(\tan(x) = -1\).
\(\tan(x) = 1\) відомий як \(x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\) (де n - це цілі числа).
\(\tan(x) = -1\) відомий як \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\) (де n - це цілі числа).
Таким чином, рівняння \( \frac{\cos(2x)}{1+\sin(2x)} = 0\) має розв'язки:
\[x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\] та \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\], де n - це цілі числа.Для розв'язання цього рівняння найзручніше скористатися ідентичністю тригонометричного тангенсу:
\(\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}\).
Підставимо це у вираз:
\(\frac{\cos(2x)}{1+\sin(2x)} = 0\).
Отже, наше рівняння стає:
\(\frac{\frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}}{1+\frac{2\tan(x)}{1 + \tan^2(x)}} = 0\).
Тепер застосуємо спільний знаменник та спростимо вираз:
\(\frac{(1 - \tan^2(x))(1 + \tan^2(x))}{(1 + \tan^2(x))(1 + 2\tan(x))} = 0\).
Тут ми бачимо, що чисельник рівний \((1 - \tan^2(x))(1 + \tan^2(x)) = (1 - \tan^2(x))(1 - (-\tan^2(x)))\).
Відомо, що \(1 - a^2 = (1-a)(1+a)\). Тому ми можемо спростити чисельник:
\((1 - \tan^2(x))(1 + \tan^2(x)) = (1 - \tan^2(x))(1 - (-\tan^2(x))) = (1-\tan^2(x))^2\).
Тепер наше рівняння виглядає так:
\(\frac{(1-\tan^2(x))^2}{(1 + \tan^2(x))(1 + 2\tan(x))} = 0\).
Рівняння буде рівним нулю, коли чисельник дорівнює нулю:
\((1-\tan^2(x))^2 = 0\).
Тепер розв'яжемо це рівняння:
\[1 - \tan^2(x) = 0\].
\[\tan^2(x) = 1\].
\[\tan(x) = \pm 1\].
Тепер знайдемо аргументи x, для яких \(\tan(x) = 1\) та \(\tan(x) = -1\).
\(\tan(x) = 1\) відомий як \(x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\) (де n - це цілі числа).
\(\tan(x) = -1\) відомий як \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\) (де n - це цілі числа).
Таким чином, рівняння \( \frac{\cos(2x)}{1+\sin(2x)} = 0\) має розв'язки:
\[x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\] та \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot n\], де n - це цілі числа.