Висота та медіана трикутника, проведені з однієї вершини, ділять кут трикутника на три рівні частини. Довести, що цей кут прямий
поможіть 50 балів
Ответы
Пошаговое объяснение:
Позначимо вершину трикутника, з якої проведені висота та медіана, як A. Нам потрібно довести, що кут між цими двома лініями є прямим кутом.
1. Висота та медіана ділять кут A на три рівні частини. Позначимо точки дотику цих ліній зі стороною BC трикутника як D та E відповідно.
2. Оскільки медіана ділить сторону BC навпіл, то BD = CD. Оскільки висота є перпендикулярною до сторони BC, то AD = DC.
3. Ми знаємо, що D та E є серединними точками сторони BC, оскільки D і E ділять сторону BC на дві рівні частини.
4. Отже, ми маємо відрізки AD, BD, та CD, які є медіанами та висотою трикутника і збігаються у точці D.
5. Таким чином, точка D - центр мас трикутника і є точкою перетину медіан та висоти. Внаслідок цього, AD дорівнює 2/3 висоти та 1/3 медіани, як показано в умові задачі.
6. Відомо, що в деякому трикутнику висота, проведена з вершини до середини протилежної сторони, ділить той трикутник на два подібні трикутники зі спільними катетами. Тому 2/3 висоти та 1/3 медіани утворюють прямий кут.
7. Отже, кут, утворений висотою та медіаною, є прямим кутом.