Помогите решить, пожалуйста!
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно b, сторона основания равна a. Найдите косинус угла между плоскостями (ABC1) и (A1B1С)
Ответы
Ответ:
Для решения задачи воспользуемся определением косинуса угла между плоскостями. Косинус угла между двумя плоскостями можно найти, используя нормализованные векторы нормалей этих плоскостей.
Для плоскости (ABC1) нормализованный вектор нормали можно найти как векторное произведение векторов AB и AC1:
N(ABC1) = AB x AC1
Аналогично для плоскости (A1B1С) можно найти нормализованный вектор нормали как векторное произведение векторов A1B1 и A1C:
N(A1B1С) = A1B1 x A1C
Теперь, чтобы найти косинус угла между плоскостями (ABC1) и (A1B1С), необходимо найти скалярное произведение нормализованных векторов нормалей:
cos(θ) = N(ABC1) * N(A1B1С)
Решение:
Рассмотрим основания треугольной призмы ABC1 и A1B1C.
Вектор AB = b (так как это боковое ребро)
Вектор AC1 = a (так как сторона основания равна a)
Вектор A1B1 = a
Вектор A1C = b
Вычислим нормализованные векторы нормалей:
N(ABC1) = AB x AC1 = b * a
N(A1B1С) = A1B1 x A1C = a * b
Теперь найдем скалярное произведение нормализованных векторов нормалей:
cos(θ) = N(ABC1) * N(A1B1С) = (b * a) * (a * b) = b^2 * a^2
Таким образом, косинус угла между плоскостями (ABC1) и (A1B1С) равен b^2 * a^2.