Question

У кулю радіусом 3 вписано конус найбільшого об'єму. Визначити висоту цього конуса.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Возьмем сечение сферы  плоскостью, проходящей через её центр O. В сечении мы получим окружность и вписанный в нее равнобедренный треугольник.

ΔАРВ.  он прямоугольный. ∠РАВ = 90°. Из этого угла опустим высоту  АМ на гипотенузу РК.

Теперь по свойству высоты из прямого угла мы можем записать

(ВМ)² = РМ*МК.

Посмотрим, что у нас получится в терминах окружности

r - радиус основания конуса.

РМ = h  - высота конуса.

РК = 2R - диаметр круга (R - радиус круга)

запишем наше свойство так:

r² = h(2R-h)

Объем конуса запишем как функцию от h

$\displaystyle V(h) = \frac{1}{3} \pi r^2h=\frac{1}{3} \pi h(2R-h)h=\frac{1}{3} \pi h^2(2R-h)$

где h изменяется в переделах (0; 2R)

Нам требуется найти, при каком значении h функция V(h)  принимает максимальное значение.

Внесем h² под скобки и возьмем производную.

$\displaystyle V(h)' =\bigg(\frac{1}{3}\pi (2rh^2-h^3)\bigg)'= \frac{1}{3} \pi (4Rh-3h^2)$

приравняем ее к нулю и найдем критические точки

$\displaystyle \frac{1}{3} \pi h(4R-3h)=0\\\\h_1=0;\qquad h_2=\frac{4}{3} R$

h₁ =0  не входит в наш промежуток. поэтому наше решение h₂

Подставим туда значение R=3 для нашей задачи и получим

$\displaystyle h=\frac{4}{3} R=\frac{4}{3} *3=4$

Таким образом максимальный объем конуса будет достигнут при высоте конуса равной 4