Question

В прямоугольном треугольнике ABC AC = a, угол B = 30° . Через вершину прямого угла проведена окружность, касающаяся AB, и отсекающая от катетов равные хорды. Найти ее радиус.​

Answer 1

Ответ:

$(6 + 4\sqrt{3} - \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{9}{\sqrt{2}}) a$

Объяснение:

Пусть a=1, тогда AC=1, BC=√3, AB=2

CA1=CB1=x, AK=y

По т о касательной и секущей

AK^2 =AC*AA1 => y^2 =1-x

BK^2 =BC*BB1 => (2-y)^2 =√3(√3-x)

4 -4√(1-x) +(1-x) =3 -√3x

4√(1-x) = x(√3-1) +2

16(1-x) = x^2(4-2√3) +4x(√3-1) +4

8(1-x) = x^2(2-√3) +2x(√3-1) +2

x^2(2-√3) +2x(√3+3) -6 =0

x = -(√3+3) +√( (√3+3)^2 +(2-√3)6 ) /(2-√3)   //положительный корень

√(3 +6√3 +9 +12 -6√3) -√3 -3 /(2-√3)

(2√6-√3-3)/(2-√3) = (2√6-√3-3)(2+√3) = 4√6 -5√3 +6√2 -9

A1B1C -р/б прямоугольный, с углами 45-90

т синусов: 2R =x/sin45 => R =x/√2 = 4√3 -5√3/√2 +6 -9/√2

Ответ умножим на a