Question

Доведіть, що чотирикутник з вершинами в даних точках є
прямокутником. Знайдіть довжину його діагоналей. А (-3;0), В (1;4), С (4;1),
D(0;-3)

Answer 1

Для доведення, що чотирикутник ABCD є прямокутником, нам потрібно переконатися в тому, що протилежні сторони паралельні (або мають однаковий нахил) і всі кути прямі

. Для цього нам спершу потрібно знайти рівняння прямих, що проходять через вершини цього чотирикутника:

Відрізок AB:

Два відрізки AB та CD паралельні осі x, оскільки мають однаковий нахил (1). Рівняння прямої, що проходить через точки A та B:

AB: y = 4x + 12

Відрізок BC:

Два відрізки BC та AD паралельні осі y, оскільки мають однаковий нахил (-1). Рівняння прямої, що проходить через точки B та C:

BC: y = -x + 5

Відрізок CD:

Вже було вказано, що CD паралельний AB та має рівняння: y = 4x + 12

Відрізок DA:

Вже було вказано, що DA паралельний BC та має рівняння: y = -x + 5

Тепер ми переконались, що протилежні сторони паралельні. Тепер перевіримо кути чотирикутника:

Для доведення, що кути прямі, визначимо нахили прямих між сусідніми вершинами:

Відрізок AB (нахил між A та B): m₁ = 4.

Відрізок BC (нахил між B та C): m₂ = -1.

Відрізок CD (нахил між C та D): m₃ = 4.

Відрізок DA (нахил між D та A): m₄ = -1.

Якщо m₁ * m₂ = -1 і m₂ * m₃ = -1 (два сусідні нахили прямих мають протилежні знаки та добуток -1), то кути між прямими дорівнюють 90 градусів.

Отже, ми переконались, що чотирикутник ABCD є  прямокутником