Question

Доведіть тотожність: 1/a-b +. 1/a+b. +. 2a/a^2+b^2. +. 4a^3/a^4+b^4= 8a^7/a^8-b^8

Answer 1

Ответ:

Тождество доказано.

Объяснение:

Доказать тождество:

$\displaystyle \bf \frac{1}{a-b} +\frac{1}{a+b}+\frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{4a^3}{a^4+b^4} =\frac{8a^7}{a^8-b^8}$

Упростим левую часть.

Для этого воспользуемся формулой разности квадратов двух чисел:

            a² - b² = (a - b)(a + b)

Будем поочередно складывать дроби, приведя их к общему знаменателю:

$\displaystyle \frac{1}{a-b} ^{(a+b}+\frac{1}{a+b}^{(a-b}+\frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{4a^3}{a^4+b^4} =\\\\=\frac{a+b+a-b}{a^2-b^2} +\frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{4a^3}{a^4+b^4} =\\\\=\frac{2a}{a^2-b^2} ^{(a^2+b^2}+\frac{2a}{a^2+b^2}^{a^2-b^2}+\frac{4a^3}{a^4+b^4} =\\\\=\frac{2a^3+2ab^2+2a^3-2ab^2}{a^4-b^4} +\frac{4a^3}{a^4+b^4} =\\\\=\frac{4a^3}{a^4-b^4} ^{(a^4+b^4}+\frac{4a^3}{a^4+b^4} ^{(a^4-b^4}=\\\\=\frac{4a^7+4a^3b^4+4a^7-4a^3b^4}{a^8-b^8} =\frac{8a^7}{a^8-b^8}$

Поучили:

$\displaystyle \bf \frac{8a^7}{a^8-b^8} =\frac{8a^7}{a^8-b^8}$

Тождество доказано.