Обчислити границі послідовностей: 2.1. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) 2n³-5n²+n+7/9n³+5n-3; 2.2. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) -n²+4n-7/2n³-3n+5; 2.3. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (2n-1)⁴/4n²+n-3; 2.4. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n+3)²-(n-2)²/7n+5; 2.5. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n+1)²+(3n-2)²/8n²+5n-3; 2.6. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (3-n)²+1/7n+5; 2.7. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n-1)³-(n+1)³/n²+(n-1)²; 2.8. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n+2)!-(n-1)!/(n-1)!+n!; 2.20. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (2n+5/2n-1)^n/2 +1; 2.15. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (√n²+1 - √n²-1). Допоможіть, будь ласка!!! Даю 100 балів!!!
Ответы
Ответ: Для обчислення границь послідовностей, використаємо правило Лопіталя, якщо це необхідно, або просто підставимо безкінечність n у вираз.
2.1. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (2n³-5n²+n+7)/(9n³+5n-3)
В цьому виразі, ступінь найвищого члена у чисельнику і знаменнику однаковий, тому границя буде визначатися коефіцієнтами перед цими членами:
lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (2n³/9n³) = 2/9.
2.2. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (-n²+4n-7)/(2n³-3n+5)
У цьому виразі ступінь найвищого члена у чисельнику менший, ніж у знаменнику, тому границя дорівнює 0.
2.3. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (2n-1)⁴/(4n²+n-3)
В цьому виразі ступінь найвищого члена у чисельнику більший, ніж у знаменнику, тому границя дорівнює безкінечності.
2.4. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n+3)²-(n-2)²/(7n+5)
У цьому виразі ступінь найвищого члена у чисельнику менший, ніж у знаменнику, тому границя дорівнює 0.
2.5. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n+1)²+(3n-2)²/(8n²+5n-3)
В цьому виразі ступінь найвищого члена у чисельнику та знаменнику однаковий, тому границя буде визначатися коефіцієнтами перед цими членами:
lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (1²/8) = 1/8.
2.6. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (3-n)²+1/(7n+5)
У цьому виразі ступінь найвищого члена у чисельнику менший, ніж у знаменнику, тому границя дорівнює 0.
2.7. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n-1)³-(n+1)³/(n²+(n-1)²)
В цьому виразі ступінь найвищого члена у чисельнику більший, ніж у знаменнику, тому границя дорівнює безкінечності.
2.8. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (n+2)!-(n-1)!/((n-1)!+n!)
У цьому виразі ступінь найвищого члена у чисельнику менший, ніж у знаменнику, тому границя дорівнює 0.
2.20. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) ((2n+5)/(2n-1))^n
У цьому виразі можна використати правило Лопіталя:
lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) ((2n+5)/(2n-1))^n = lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (1 + 10/(2n-1))^n.
Після використання правила Лопіталя ми отримаємо границю, дорівнює 1/e^10 (де e - це число Ейлера, приблизно 2.71828).
2.15. lim (знизу над "лімітом" від n ---> до безкінечності) (√(n²+1) - √(n²-1))
У цьому виразі можна спростити вираз:
√(n²+1) - √(n²-1) = (√(n²+1) - √(n²-1)) * ((√(n²+1) + √(n²-1))/((√(n²+1) + √(n²-1)))
Після спрощення ми отримаємо границю, дорівнює 1.