Question

Доведіть нерівність:
2x 2 -10xy+25y 2 ≥ 0.
СРООООЧНООО ДАЮ ВСЕ БАЛЫ​

Answer 1

Ответ:

Для доведення нерівності 2x^2 - 10xy + 25y^2 ≥ 0, розглянемо дискримінант квадратного тричлена 2x^2 - 10xy + 25y^2.

Дискримінант D = (-10xy)^2 - 4 * 2 * 25y^2 = 100x^2y^2 - 200y^2 = 100y^2(x^2 - 2).

Тому нерівність можна переписати у вигляді: 100y^2(x^2 - 2) ≥ 0.

Так як 100 і y^2 завжди невід'ємні числа, для доведення нерівності потрібно, щоб (x^2 - 2) було невід'ємним числом.

Таким чином, щоб довести нерівність, достатньо перевірити два випадки:

1. Якщо x^2 - 2 ≥ 0, тоді нерівність виконується для будь-якого значення y.

2. Якщо x^2 - 2 < 0, тоді нерівність виконується, коли y = 0.

Отже, нерівність 2x^2 - 10xy + 25y^2 ≥ 0 виконується для будь-яких значень x та y.

Answer 2

Ответ:

Дана нерівність

$2x^2 - 10xy + 25y^2 \geq 0.$

Цю нерівність можна переписати як

$(\sqrt{2}x - 5y)^2 \geq 0.$

Ось кроки для цього:

Крок 1. Винесимо спільний дільник 2 із перших двох доданків:

$2(x^2 - 5xy) + 25y^2 \geq 0.$

Крок 2: Заповнимо квадрат для виразу в дужках. Для цього ми беремо половину коефіцієнта xy, зводимо його в квадрат, додаємо та віднімаємо в дужках:

$2[(x^2 - 5xy + (\frac{5}{2})^2) - (\frac{5}{2})^2] + 25y^2 \geq 0.$

Крок 3: Спростимо вираз у квадратних дужках. Перші три члени утворюють повний квадрат:

$2[(x - \frac{5}{2}y)^2 - (\frac{5}{2})^2y^2] + 25y^2 \geq 0.$

Крок 4. Далі спростимо вираз:

$2(x - \frac{5}{2}y)^2 - 2(\frac{5}{2})^2y^2 + 25y^2 \geq 0.$

Крок 5: об’єднаємо схожі умови:

$2(x - \frac{5}{2}y)^2 + (25 - 2(\frac{5}{2})^2)y^2 \geq 0.$

Крок 6: Спростимо вираз, щоб отримати остаточну форму:

$(\sqrt{2}x - 5y)^2 \geq 0.$

Ця нерівність завжди справедлива для всіх дійсних чисел x і y, оскільки квадрат дійсного числа завжди невід’ємний.