Question

Задача 1. Задані вектори а , b , с .
а) обчислити суму, різницю та скалярний добуток векторів а і b;
б) знайти модуль векторного добутку векторів а і с;
в) обчислити змішаний добуток векторів а , b , с .
12. a (1;1;1) , b (1;2; 1) , c (3;2; 1)

Задача 2. Задані чотири точки А1, А2, А3, А4. Знайти:
a) кут між векторами A1A2 та A1A3;
b) площу трикутника А1 А2 А3;
c) об’єм трикутної піраміди з вершинами в точках А1, А2, А3, А4.
12. А1 (2; -1,2), А2 (1;2; -1), А3 (3;2;1), А4 (-4;2;5).

Answer 1

Відповідь:  Завдання 1:

а) Спершу обчислимо суму, різницю та скалярний добуток векторів a і b:

Вектор а (1;1;1)

Вектор b (1;2;1)

Сума a і b:

a + b = (1+1; 1+2; 1+1) = (2;3;2)

Різниця a і b:

a - b = (1-1; 1-2; 1-1) = (0;-1;0)

Скалярний добуток a і b:

a ∙ b = (11 + 12 + 1*1) = 1 + 2 + 1 = 4

б) Тепер знайдемо модуль векторного добутку векторів a і c:

Вектор а (1;1;1)

Вектор с (3;2;1)

Векторний добуток a і c:

a × c = [(11 - 12); (13 - 11); (12 - 13)] = (-1;2;-1)

Модуль векторного добутку |a × c| = √((-1)² + 2² + (-1)²) = √(1+4+1) = √6

в) Тепер обчислимо змішаний добуток векторів a, b і c:

Змішаний добуток (a, b, c) = a ∙ (b × c)

Для цього спочатку обчислимо векторний добуток b і c:

Вектор b (1;2;1)

Вектор с (3;2;1)

Векторний добуток b і c:

b × c = [(21 - 12); (13 - 11); (12 - 23)] = (0;2;-4)

Тепер обчислимо змішаний добуток:

(a, b, c) = a ∙ (b × c) = (1;1;1) ∙ (0;2;-4) = 10 + 12 + 1*(-4) = 2 - 4 = -2

Завдання 2:

а) Обчислимо кут між векторами A1A2 і A1A3. Кут між векторами визначається за формулою косинуса:

Вектор A1A2 (1-2;2-(-1);-1-2) = (-1;3;-3)

Вектор A1A3 (3-2;2-(-1);1-2) = (1;3;-1)

Знайдемо косинус кута між ними:

cos(θ) = (A1A2 ∙ A1A3) / (|A1A2| * |A1A3|)

cos(θ) = ((-11 + 33 + (-3)*(-1)) / (√((-1)² + 3² + (-3)²) * √(1² + 3² + (-1)²))

cos(θ) = (1 + 9 + 3) / (√10 * √11)

cos(θ) = 13 / (√10 * √11)

Тепер знайдемо кут θ, використовуючи обернений косинус (арккосинус):

θ = arccos(13 / (√10 * √11))

б) Обчислимо площу трикутника А1А2А3, використовуючи векторний добуток:

Вектор A1A2 (-1;3;-3)

Вектор A1A3 (1;3;-1)

Площа трикутника S = 1/2 * |A1A2 × A1A3|.

Знайдемо векторний добуток A1A2 × A1A3:

A1A2 × A1A3 = |i j k |

|-1 3 -3|

|1 3 -1|

= i(-3*(-1) - 31) - j(-1(-1) - 33) + k(-13 - (-3)*3)

= i(3 - 3) - j(-1 - 9) + k(-3 + 9)

= i(0) + j(-10) + k(6)

= -10j + 6k

Тепер обчислимо модуль цього векторного добутку:

|A1A2 × A1A3| = √((-10)² + 6²) = √(100 + 36) = √136

Площа трикутника