Задача 1. Задані вектори а , b , с .
а) обчислити суму, різницю та скалярний добуток векторів а і b;
б) знайти модуль векторного добутку векторів а і с;
в) обчислити змішаний добуток векторів а , b , с .
12. a (1;1;1) , b (1;2; 1) , c (3;2; 1)
Задача 2. Задані чотири точки А1, А2, А3, А4. Знайти:
a) кут між векторами A1A2 та A1A3;
b) площу трикутника А1 А2 А3;
c) об’єм трикутної піраміди з вершинами в точках А1, А2, А3, А4.
12. А1 (2; -1,2), А2 (1;2; -1), А3 (3;2;1), А4 (-4;2;5).
Ответы
Відповідь: Завдання 1:
а) Спершу обчислимо суму, різницю та скалярний добуток векторів a і b:
Вектор а (1;1;1)
Вектор b (1;2;1)
Сума a і b:
a + b = (1+1; 1+2; 1+1) = (2;3;2)
Різниця a і b:
a - b = (1-1; 1-2; 1-1) = (0;-1;0)
Скалярний добуток a і b:
a ∙ b = (11 + 12 + 1*1) = 1 + 2 + 1 = 4
б) Тепер знайдемо модуль векторного добутку векторів a і c:
Вектор а (1;1;1)
Вектор с (3;2;1)
Векторний добуток a і c:
a × c = [(11 - 12); (13 - 11); (12 - 13)] = (-1;2;-1)
Модуль векторного добутку |a × c| = √((-1)² + 2² + (-1)²) = √(1+4+1) = √6
в) Тепер обчислимо змішаний добуток векторів a, b і c:
Змішаний добуток (a, b, c) = a ∙ (b × c)
Для цього спочатку обчислимо векторний добуток b і c:
Вектор b (1;2;1)
Вектор с (3;2;1)
Векторний добуток b і c:
b × c = [(21 - 12); (13 - 11); (12 - 23)] = (0;2;-4)
Тепер обчислимо змішаний добуток:
(a, b, c) = a ∙ (b × c) = (1;1;1) ∙ (0;2;-4) = 10 + 12 + 1*(-4) = 2 - 4 = -2
Завдання 2:
а) Обчислимо кут між векторами A1A2 і A1A3. Кут між векторами визначається за формулою косинуса:
Вектор A1A2 (1-2;2-(-1);-1-2) = (-1;3;-3)
Вектор A1A3 (3-2;2-(-1);1-2) = (1;3;-1)
Знайдемо косинус кута між ними:
cos(θ) = (A1A2 ∙ A1A3) / (|A1A2| * |A1A3|)
cos(θ) = ((-11 + 33 + (-3)*(-1)) / (√((-1)² + 3² + (-3)²) * √(1² + 3² + (-1)²))
cos(θ) = (1 + 9 + 3) / (√10 * √11)
cos(θ) = 13 / (√10 * √11)
Тепер знайдемо кут θ, використовуючи обернений косинус (арккосинус):
θ = arccos(13 / (√10 * √11))
б) Обчислимо площу трикутника А1А2А3, використовуючи векторний добуток:
Вектор A1A2 (-1;3;-3)
Вектор A1A3 (1;3;-1)
Площа трикутника S = 1/2 * |A1A2 × A1A3|.
Знайдемо векторний добуток A1A2 × A1A3:
A1A2 × A1A3 = |i j k |
|-1 3 -3|
|1 3 -1|
= i(-3*(-1) - 31) - j(-1(-1) - 33) + k(-13 - (-3)*3)
= i(3 - 3) - j(-1 - 9) + k(-3 + 9)
= i(0) + j(-10) + k(6)
= -10j + 6k
Тепер обчислимо модуль цього векторного добутку:
|A1A2 × A1A3| = √((-10)² + 6²) = √(100 + 36) = √136
Площа трикутника