Задано уравнение x^4-x^3-2x^2-3=0
1.1 Отделить все действительные корни (аналитически)
1.2 Уточнить один из них используя метод секущих (е=10^-1)
1.3 Геометрическая интерпретация метода (2 шага)
Ответы
1.1 Для отделения действительных корней воспользуемся правилом знаков Декарта. Подставим в уравнение значения x = -2, -1, 0, 1 и 2:
При x = -2 получаем: (-2)^4 - (-2)^3 - 2*(-2)^2 - 3 = 16 + 8 - 8 - 3 = 13 > 0
При x = -1 получаем: (-1)^4 - (-1)^3 - 2*(-1)^2 - 3 = 1 + 1 - 2 - 3 = -3 < 0
При x = 0 получаем: 0^4 - 0^3 - 2*0^2 - 3 = -3 < 0
При x = 1 получаем: 1^4 - 1^3 - 2*1^2 - 3 = 1 - 1 - 2 - 3 = -5 < 0
При x = 2 получаем: 2^4 - 2^3 - 2*2^2 - 3 = 16 - 8 - 8 - 3 = -3 < 0
Из полученных результатов видно, что у уравнения два действительных корня.
1.2 Для уточнения одного из корней воспользуемся методом секущих. Возьмем начальное приближение x0 = 1.5 и x1 = 2. Подставим эти значения в уравнение и найдем значения функции:
При x0 = 1.5 получаем: (1.5)^4 - (1.5)^3 - 2*(1.5)^2 - 3 ≈ 3.375 - 3.375 - 4.5 - 3 ≈ -7.5 < 0
При x1 = 2 получаем: 2^4 - 2^3 - 2*2^2 - 3 = 16 - 8 - 8 - 3 = -3 < 0
Так как полученные значения функции противоположны по знаку, то найден корень между этими значениями. Далее воспользуемся формулой метода секущих для нахождения уточненного значения корня:
x2 = x1 - f(x1)*(x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))
Подставим значения: x2 = 2 - (-3)*(2 - 1.5) / (-3 - (-7.5)) = 2 + 3*(0.5) / (-3 + 7.5) ≈ 1.8333
1.3 Геометрическая интерпретация метода секущих (2 шага):
Имеется график функции f(x) = x^4 - x^3 - 2x^2 - 3.
На первом шаге выбираются две точки на графике функции - начальное приближение x0 и некоторая точка x1, и проводится секущая через эти точки.
Далее находится пересечение с осью x (x2) и строится секущая через точки x1 и x2.
Точка пересечения с осью x (x3) принимается за следующее приближение к корню уравнения.
Процесс повторяется, пока достигнута необходимая точность или до достижения заданного числа итераций.
На первом шаге секущая проводится через точки (x0, f(x0)) и (x1, f(x1)).
На втором шаге секущая проводится через точки (x1, f(x1)) и (x2, f(x2)).
Более точное значение корня получается при каждой итерации метода секущих.