Question

Довести, що (а+4)(в +9)(c+25) ≥ 240√abc якщо а≥0, b≥0, c≥0​

Answer 1

Давайте спробуємо довести нерівність (а+4)(b+9)(c+25) ≥ 240√abc, виходячи з умов, що a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

Почнемо з розкриття лівої частини нерівності:

(а+4)(b+9)(c+25) = abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900

Тепер ми можемо скористатися нерівністю між середнім арифметичним і середнім геометричним для додатних чисел:

Середнє арифметичне (abc, 25ab, 4bc, 9ac, 225bc, 36ac, 100c, 900) ≥ Середнє геометричне (abc, 25ab, 4bc, 9ac, 225bc, 36ac, 100c, 900)

Тобто:

(abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900) / 8 ≥ ∛(abc * 25ab * 4bc * 9ac * 225bc * 36ac * 100c * 900)

Далі ми знаємо, що всі a, b, c ≥ 0, тому добуток abc та інших додатних чисел завжди буде додатнім, тобто ∛(abc * 25ab * 4bc * 9ac * 225bc * 36ac * 100c * 900) > 0.

Таким чином, ми маємо:

(abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900) / 8 ≥ 0

Помножимо обидві сторони на 8:

abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900 ≥ 0

Отже, ми довели, що (а+4)(b+9)(c+25) ≥ 240√abc за умови, що a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.