Question

Довизначити функцію, щоб вона стала неперервна.

Доопределить функцию, чтобы она стала непрерывной.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle f(x) = \left \{ {{ \displaystyle \frac{sin(x)}{x} ,\quad x < 0 \atop{ \displaystyle 1\qquad \quad x=0}} \atop { \displaystyle \frac{sin(x)}{x} , \quad x > 0}} \right.$

Объяснение:

функция f(x) непрерывна в точке х если  

• - функция определена в точке х;

• - существуют и равны  односторонние пределы слева и справа;

• - пределы справа и слева равны значению функции в точке х.

Что мы имеем?

имеем функцию   $\displaystyle f(x) = \frac{sin(x)}{x}$

Она существует для ∀х, кроме х = 0.

Значит, в точке х₀=0 мы видим разрыв.

Посмотрим на пределы слева и справа

$\displaystyle \lim_{x \to 0+0} \frac{sin(x)}{x} =1\\\\\\\lim_{x \to 0-0} \frac{sin(x)}{x} =1$

f(0) не определена.

• Если существуют левый и правый пределы функции в точке х₀ и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции  в точке х₀,  или функция  не определена в точке х₀, то точка х₀  называется точкой устранимого разрыва.

Итак, мы имеем точку устранимого разрыва.

Следовательно, если мы доопределим функцию в точке х₀, мы получим непрерывную функцию.

Положим f(0) = 1

$\displaystyle f(x) = \left \{ {{ \displaystyle \frac{sin(x)}{x} ,\quad x < 0 \atop{ \displaystyle 1\qquad \quad x=0}} \atop { \displaystyle \frac{sin(x)}{x} , \quad x > 0}} \right.$