Определите закон движения точки массой m, если на нее действует сила f=ai+btk, где a и b постоянные, i и k орты, а при t=0, r=0, v=v0
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Чтобы определить закон движения точечной массы с действующей на нее силой, мы можем использовать второй закон движения Ньютона, который гласит:
F = ма
В этом случае сила, действующая на точечную массу, определяется как:
F = аi + btk
Где a и b — константы, i и k — единичные векторы, а t — время.
Поскольку F = ma, мы можем приравнять данную силу к ma:
аi + btk = ма
Теперь разобьем уравнение на составляющие:
Для i-компонента:
а = ма
Это уравнение говорит нам, что ускорение в i-направлении равно a.
Для k-компонента:
btk = ма
Здесь ускорение в направлении k равно btk.
Теперь давайте проинтегрируем оба уравнения по времени, чтобы получить скорость и положение:
Для i-компонента:
Используя уравнение v = ∫a dt, мы можем проинтегрировать обе части:
v_i = ∫a dt
v_i = at + C1
Где v_i представляет скорость в i-направлении, а C1 — константу интегрирования.
Для k-компонента:
Используя уравнение v = ∫a dt, мы можем проинтегрировать обе части:
v_k = ∫btk dt
v_k = (1/2)bt^2 + C2
Где v_k представляет скорость в направлении k, а C2 — константа интегрирования.
Учитывая, что при t = 0, r = 0 и v = v0, мы можем определить значения констант C1 и C2.
При t = 0 имеем:
v_i(0) = a(0) + C1 = 0
С1 = 0
v_k(0) = (1/2)b(0)^2 + C2 = 0
С2 = 0
Следовательно, константы C1 и C2 равны нулю.
Теперь у нас есть выражения для скорости:
v_i = at
v_k = (1/2)bt^2
Чтобы найти положение, интегрируем выражения скорости:
r_i = ∫v_i dt = ∫at dt = (1/2)at^2 + C3
r_k = ∫v_k dt = ∫((1/2)bt^2) dt = (1/6)bt^3 + C4
Где r_i и r_k представляют положение в i-направлении и k-направлении соответственно. C3 и C4 — константы интегрирования.
Учитывая, что при t = 0, r = 0, мы можем определить значения констант C3 и C4.
При t = 0 имеем:
r_i(0) = (1/2)a(0)^2 + C3 = 0
С3 = 0
r_k(0) = (1/6)b(0)^3 + C4 = 0
С4 = 0
Следовательно, константы C3 и C4 равны нулю.
Наконец, у нас есть выражения для позиции:
r_i = (1/2)в^2
r_k = (1/6)bt^3
Подводя итог, закон движения точечной массы с заданной силой таков:
r_i = (1/2)at^2
r_k = (1/6)bt^3
где a и b — константы, t — время, а r_i и r_k представляют положение в i-направлении и k-направлении соответственно.