Ответы
Для начала приведем уравнение к общему знаменателю. Умножим первое слагаемое на (x - 2), а второе слагаемое на (x + 2):
x(x - 2)/(x + 2)(x - 2) + (x + 2)(x - 2)/(x + 2)(x - 2) = 8/(x^2 - 4)
После раскрытия скобок получим:
x(x - 2) + (x + 2)(x - 2) = 8
Распишем скобки:
x^2 - 2x + x^2 - 4 = 8
Соберем все слагаемые:
2x^2 - 2x - 4 - 8 = 0
2x^2 - 2x - 12 = 0
Разделим все слагаемые на 2:
x^2 - x - 6 = 0
Теперь постараемся разложить это уравнение на множители:
(x - 3)(x + 2) = 0
Из этого следует, что x = 3 или x = -2.
Проверим оба значения в исходном уравнении:
1. Подставим x = 3:
3/(3 + 2) + (3 + 2)/(3 - 2) = 8/(3^2 - 4)
3/5 + 5/1 = 8/(9 - 4)
3/5 + 5 = 8/5
15/5 + 25/5 = 8/5
40/5 = 8/5
8/5 = 8/5 (верно)
2. Подставим x = -2:
-2/(-2 + 2) + (-2 + 2)/(-2 - 2) = 8/(-2^2 - 4)
-2/0 + 0/-4 = 8/0
Здесь возникает деление на ноль, поэтому x = -2 не является решением исходного уравнения.
Таким образом, решением дробно-рационального уравнения x/(x + 2) + (x + 2)/(x - 2) = 8/(x^2 - 4) является x = 3.