Question

Помогите решить неравенство

Answer 1

Ответ:

Решить неравенство .

 $\bf -1 < sin\Big(4x-\dfrac{9\pi }{4}\Big)\leq \dfrac{1}{2}$    

Если заменить аргумент на новую переменную  t  , то получим

  $\bf t=4x-\dfrac{9\pi }{4}\ \ ,\ \ \ -1 < sin\, t\leq \dfrac{1}{2}\ \ \ \ (*)$    

Неравенство  (*) равносильно системе неравенств

$\left\{\begin{array}{l}\bf sin\, t > -1\ ,\\\bf sin\, t\leq \dfrac{1}{2}\ .\end{array}\right$

а)  Решаем неравенство    $\bf sin\, t > -1$  .

Так как  $\bf -1\leq sin\, t\leq 1$  для  любых действительных значений  t  ,  то  неравенство  sin t > -1  верно при  $\bf t\ne -\dfrac{\pi }{2}+\pi k\ ,\ k\in Z$  .

б)   Решаем неравенство    $\bf sin\, t \leq \dfrac{1}{2}$    ⇒  

 $\bf \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \ t\ \leq \dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z$  .

в)  Теперь найдём пересечение  множеств из пунктов  а)  и  б) .  

Учтём, что нужно из промежутка  пункта  б)  выколоть точку  $\bf t=\dfrac{3\pi }{2}$

Тогда надо решить два неравенства .    

$\bf \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \, t\, < \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n\ ,\ n\in Z\ \ \ (**)$       и    

$\bf \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n < \, t\, \leq \dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z\ \ \ (***)$  .

Решаем неравенство  $\bf (**)$  ,  заменив переменную  t  на выражение , записанное через  х  .

$\bf \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \ 4x-\dfrac{9\pi }{4} < \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n\ ,\ n\in Z$    

$\bf \dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\leq \ 4x\ < \dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{3\pi }{2}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{37\pi }{12}+2\pi n\leq \ 4x\ < \dfrac{15\pi }{4}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{37\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\leq \ x\ < \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z\\\\\\x\in \Big[\ \dfrac{37\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big)\ ,\ n\in Z$  

Теперь решаем неравенство  $\bf (***)$  .

$\bf \bf \dfrac{3\pi }{2}+2\pi n < \ 4x-\dfrac{9\pi }{4}\leq \dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{3\pi }{2}+2\pi n < \ 4x\ \leq \dfrac{9\pi }{4}+\dfrac{11\pi }{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{15\pi }{4}+2\pi n < \ 4x\ \leq \dfrac{49\pi }{12}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2} < \ x\ \leq \dfrac{49\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z\\\\\\x\in \Big(\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{49\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big],\ n\in Z$  

Объединив множества, получим ответ:

$\bf x\in \Big[\ \dfrac{37\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big)\cup\Big(\ \dfrac{15\pi }{16}+\dfrac{\pi n}{2} \ ;\ \dfrac{49\pi }{48}+\dfrac{\pi n}{2}\ \Big]\ ,\ n\in Z$  .