Question

Сторона треугольника на 5 см короче высоты, проведенной против нее. Если длину стороны уменьшить на 2 см, а длину высоты увеличить на 3 см, то площадь полученного треугольника на 4,5 см2 меньше площади данного треугольника. Вычислите длину стороны данного треугольника! Конечно, ход расчетов должен быть показан!

Answer 1

Ответ:

Пусть S будет площадью данного треугольника, h - длиной высоты, и a - длиной стороны.

Мы знаем, что сторона короче высоты на 5 см, поэтому a = h - 5.

Также, если уменьшить сторону на 2 см и увеличить высоту на 3 см, то площадь будет на 4,5 квадратных сантиметра меньше, чем S.

Это можно записать как: (h + 3)(a - 2) = S - 4.5.

Теперь мы можем заменить a в этом уравнении с помощью первого уравнения:

(h + 3)((h - 5) - 2) = S - 4.5.

Раскроем скобки и упростим:

(h + 3)(h - 7) = S - 4.5.

Раскроем скобки снова:

h^2 - 7h + 3h - 21 = S - 4.5.

Упростим левую сторону:

h^2 - 4h - 21 = S - 4.5.

Теперь мы знаем, что S - 4.5 = h^2 - 4h - 21.

Мы также знаем, что площадь треугольника можно выразить как S = (a * h) / 2. Заменяем a на h - 5:

S = ((h - 5) * h) / 2.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. S - 4.5 = h^2 - 4h - 21

2. S = ((h - 5) * h) / 2

Подставляем значение S из уравнения 2 в уравнение 1:

((h - 5) * h) / 2 - 4.5 = h^2 - 4h - 21

Теперь решаем это уравнение:

Умножаем обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

(h - 5) * h - 9 = 2 * (h^2 - 4h - 21)

Раскрываем скобки:

h^2 - 5h - 9 = 2h^2 - 8h - 42

Переносим все члены на одну сторону:

0 = 2h^2 - 8h - 42 - h^2 + 5h + 9

0 = h^2 - 3h - 33

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-33)

D = 9 + 132

D = 141

Теперь используем формулу для нахождения h (высоты):

h = (-b ± √D) / (2a)

h = (-(-3) ± √141) / (2 * 1)

h = (3 ± √141) / 2

Так как длина высоты не может быть отрицательной, мы берем только положительный корень:

h = (3 + √141) / 2

Теперь мы можем найти a (длину стороны) с использованием первого уравнения:

a = h - 5

a = (3 + √141) / 2 - 5

Это даст вам длину стороны данного треугольника.