Ответы
Пошаговое объяснение:
Для розв'язання квадратного рівняння вигляду 2x⁴ - 5x³ - x² + 5x + 2 = 0 можна спростити рівняння за допомогою підстановок.
Спочатку введемо підстановку y = x²:
2y² - 5y - 1 + 5√y + 2 = 0
Тепер зробимо іншу підстановку, введемо нову змінну z = √y:
2z² - 5z - 1 + 5z + 2 = 0
Тепер ми маємо квадратне рівняння:
2z² - z - 1 = 0
Розв'яжемо його за допомогою квадратного рівняння. Використаємо коефіцієнти a = 2, b = -1, c = -1:
D = b² - 4ac = (-1)² - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9
Знайдемо два розв'язки з допомогою квадратного кореня:
z₁ = (-b + √D) / (2a) = (1 + 3) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1
z₂ = (-b - √D) / (2a) = (1 - 3) / (2 * 2) = -2 / 4 = -1/2
Зараз ми знаємо значення z. Але ми маємо пам'ятати про попередні підстановки:
1. y = x²
2. z = √y
Отже, ми повинні знайти значення y і, нарешті, x. Розглядаючи кожну підстановку окремо:
1. Для y = x², маємо:
y₁ = 1 (для z₁ = 1)
y₂ = 1/4 (для z₂ = -1/2)
2. Для z = √y, маємо:
x₁ = √y₁ = √1 = 1 (для y₁ = 1)
x₂ = √y₂ = √(1/4) = 1/2 (для y₂ = 1/4)
Отже, маємо два розв'язки для x:
1. x₁ = 1 (для y = 1, з = 1)
2. x₂ = 1/2 (для y = 1/4, з = -1/2)
Таким чином, розв'язки рівняння 2x⁴ - 5x³ - x² + 5x + 2 = 0:
x₁ = 1
x₂ = 1/2