У рівнобедрений трикутник вписано коло, що ділить бічну сторону у відношенні 5:3, починаючи від вершини при основі. Знайдіть периметр трикутника, якщо його основа довша за бічну сторону на 2,5 см.
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цієї задачі можна скористатися теоремою про вписаний кут трикутника. За умовою ми знаємо, що коло вписано у рівнобедрений трикутник, і відношення, в якому воно ділить бічну сторону, є 5:3. Нехай бічна сторона дорівнює 3x, тоді основа дорівнює 5x.
Тепер давайте позначимо радіус кола, як "r", і знайдемо його вираз через півпериметр та площу трикутника. Половина периметра трикутника дорівнює (5x + 3x + 2.5) / 2 = 4.25x.
Площа трикутника дорівнює півпроизведенню основи на висоту, але ми не знаємо висоту. За допомогою висоти можна знайти площу трикутника через радіус вписаного кола за формулою S = rp, де "S" - площа трикутника, "r" - радіус кола, "p" - половина периметру.
Отже, ми отримуємо:
S = rp
S = r * 4.25x
Ми також можемо визначити площу трикутника інакше, використовуючи формулу Герона:
S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]
де "a", "b" і "c" - сторони трикутника, "p" - половина периметру.
Ми знаємо, що "a" = 5x, "b" = 3x, "c" = 3x (оскільки це рівнобедрений трикутник).
Таким чином, ми отримуємо:
S = √[4.25x(4.25x - 5x)(4.25x - 3x)(4.25x - 3x)]
Тепер можемо прирівняти обидві вирази для площі та знайти радіус кола:
r * 4.25x = √[4.25x(4.25x - 5x)(4.25x - 3x)(4.25x - 3x)]
З цього виразу ми можемо знайти значення "r", і далі знаходити периметр трикутника, використовуючи відомі значення сторін.
Зауважте, що при обчисленнях важливо користуватися правильними одиницями вимірювання.