Question

Відрізок АД-бісектриса трикутника АВС. АВ=6 см, АС=8 см, кутВАС=120°.Знайти бісектрису АД.

Answer 1

Ответ:

АD = 24/7  см

Объяснение:

Отрезок АD - биссектриса треугольника АВС. АВ = 6 см, АС = 8 см, угол ВАС =120°. Найти биссектрису АD

Рассмотрим Δ АВС. АВ = 6 см, АС = 8 см, ∠ВАС =120°.

1 способ .

Воспользуемся формулой биссектрисы треугольника

$l{_b}= \dfrac{2ac\cdot cos\frac{\beta }{2} }{a+c}$

Тогда получим

$AD = \dfrac{2\cdot AB \cdot AC\cdot cos (\angle{BAC/2)} }{AB +AC}$

$AD =\dfrac{2\cdot6\cdot 8 \cdot cos \dfrac{120^{0} }{2} }{6+8} =\dfrac{2\cdot6\cdot 8 \cdot cos 60^{0}}{6+8} = \dfrac{2\cdot 48 \cdot 0,5}{14} =\dfrac{48}{14} =\dfrac{24}{7}$

Значит, биссектриса  АD = 24/7  см

2 способ.

Найдем площадь треугольника АВС как полупроизведение сторон треугольника на синус угла между ними.

$S _{ABC} =\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin \angle{} BAC;\\\\S _{ABC} =\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin120^{0} = 3 \cdot 8 \cdot sin(180^{0} -60^{0} )= 24 \cdot sin 60^{0} =24\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =12\sqrt{3}$

Площадь треугольника ΔАВС равна 12 √3 см².

Биссектриса делит угол пополам .

Поэтому ∠ВАD=∠CAD = 120°:2 = 60°.

Найдем теперь площадь ΔАВС как сумму площадей ΔABD и ΔCAD

Обозначим биссектрису АD через х

$S _{ABD} =\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot sin \angle{} BAD;\\\\S _{ABD} =\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \cdot sin60^{0} =3\cdot x \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{3x\sqrt{3} }{2}$  cм²

$S _{CAD} =\dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot sin \angle{} CAD;\\\\S _{CAD} =\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot sin60^{0} =4\cdot x \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{4x\sqrt{3} }{2}$  cм²

Тогда

$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{CAD};\\\\S_{ABC}=\dfrac{3x\sqrt{3} }{2} +\dfrac{4x\sqrt{3} }{2} =\dfrac{7x\sqrt{3} }{2}$ cм²

Тогда получим равенство:

$\dfrac{7x\sqrt{3} }{2} =12\sqrt{3} |\cdot 2;\\\\7x\sqrt{3} =24\sqrt{3} |: \sqrt{3} ;\\\\7x=24;\\\\x =24:7;\\\\x=\dfrac{24}{7}$

Значит, биссектриса  AD равна 24/7 см.

#SPJ1