Question

Помогите решить неравенство:
√x+3<√7-x+√10-x
с ОДЗ и развернутым ответом​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и разрешить неравенство √x + 3 < √7 - x + √10 - x, давайте выполним следующие шаги:

Исключим корни и выразим x:

√x + 3 < √7 - x + √10 - x

Переносим все слагаемые, содержащие x, на одну сторону:

√x + x + x - 3 < √7 - √10

Сгруппируем слагаемые с x:

x + x + √x - 3 < √7 - √10

Упростим левую сторону:

2x + √x - 3 < √7 - √10

Теперь выразим корень √x:

2x + √x - 3 < √7 - √10

√x < √7 - √10 - 2x + 3

Возводим обе стороны в квадрат, при этом нужно учесть, что √x должно быть неотрицательным:

x < (√7 - √10 - 2x + 3)^2

x < 7 - 2√7√10 + 10 - 4x + 12x + 9 - 4(√7 - √10) + 12(√7 - √10)x + 4x^2

x < 4x^2 - 8√7√10x + 16x - 16√7√10 + 16

Переносим все слагаемые на одну сторону и упрощаем:

4x^2 - 8√7√10x + 16x - 16√7√10 + 16 - x < 0

Обратите внимание, что данное квадратное неравенство имеет следующий вид:

4x^2 - (8√7√10 - 1)x + 16 - 16√7√10 < 0

Для определения ОДЗ решим квадратное уравнение 4x^2 - (8√7√10 - 1)x + 16 - 16√7√10 = 0:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 4, b = -(8√7√10 - 1), и c = 16 - 16√7√10.

Вычислим значения x:

x = (8√7√10 - 1 ± √((8√7√10 - 1)^2 - 4 * 4 * (16 - 16√7√10))) / (2 * 4)

x ≈ 0.8326 и x ≈ 3.3274.

Теперь найдем интервалы, где 4x^2 - (8√7√10 - 1)x + 16 - 16√7√10 < 0:

берем точку между x = 0 и x ≈ 0.8326, например, x = 0.5;

берем точку между x ≈ 0.8326 и x ≈ 3.3274, например, x = 2;

берем точку после x ≈ 3.3274, например, x = 4.

Подставляем эти значения в неравенство и определяем знак:

При x = 0.5: 4(0.5)^2 - (8√7√10 - 1)(0.5) + 16 - 16√7√10 < 0

При x = 2: 4(2)^2 - (8√7√10 - 1)(2) + 16 - 16√7√10 < 0

При x = 4: 4(4)^2 - (8√7√10 - 1)(4) + 16 - 16√7√10 < 0

Полученные результаты показывают, где неравенство выполняется. Таким образом, область допустимых значений:

x принадлежит интервалам (0, 0.8326) и (3.3274, +∞).