У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута, а одна з основ на 6 см більша за іншу. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її периметр 74 см.
Ответы
Ответ:Позначимо довжину меншої основи трапеції як \(x\) см. Тоді більша основа буде \(x + 6\) см.
Оскільки діагональ є бісектрисою гострого кута, вона розділяє трапецію на дві прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора маємо:
\[
x^2 + h^2 = a^2 \quad \text{(1)}
\]
\[
(x + 6)^2 + h^2 = b^2 \quad \text{(2)}
\]
Де \(h\) - висота трапеції, \(a\) - довша відстань між основами (більша основа), \(b\) - коротша відстань між основами (менша основа).
Периметр трапеції складається з суми довжин основ і суми довжин бокових сторін:
\[
P = a + b + 2s \quad \text{(3)}
\]
Так як \(a = x + 6\) і \(b = x\), підставимо ці значення в рівняння (3):
\[
P = x + 6 + x + 2s = 74
\]
Скоротимо:
\[
2x + 2s + 6 = 74
\]
Отримаємо:
\[
2x + 2s = 68 \quad \text{(4)}
\]
Тепер можна вирішувати цю систему рівнянь. Наприклад, можна виразити \(s\) з рівняння (4):
\[
s = 34 - x \quad \text{(5)}
\]
Підставимо це в рівняння (1):
\[
x^2 + (34 - x)^2 = a^2
\]
Розгорнемо квадрат і спростимо:
\[
x^2 + 1156 - 68x + x^2 = a^2
\]
\[
2x^2 - 68x + 1156 - a^2 = 0 \quad \text{(6)}
\]
Аналогічно, підставимо \(s\) в рівняння (2):
\[
(x + 6)^2 + (34 - x)^2 = b^2
\]
Розгорнемо квадрат і спростимо:
\[
x^2 + 12x + 36 + 1156 - 68x + x^2 = b^2
\]
\[
2x^2 - 56x + 1192 - b^2 = 0 \quad \text{(7)}
\]
Отримані рівняння (6) і (7) утворюють систему рівнянь. Її можна вирішити, наприклад, методом підстановки або іншими методами розв'язання систем рівнянь.
Объяснение: