Question

Комбинаторика. Студенту необхідно здати 4 екзамени за 8 днів. Скількома
способами це можна зробити, якщо два дні поспіль не можна здавати
екзамени?

Answer 1

Ответ: 120 способами можна провести 4 екзамени за 8 днів, за умови що два дні поспіль не можна складати екзамени

Пошаговое объяснение:

Сделаем табличку 1×8, где кружком обозначается день в котором проводился экзамен, а крестиком день в котором не проводился

Предположим что в первый день обязательно сдавался какой-то экзамен, далее выпишем все варианты при которых в первый день обязательно сдавался экзамен

$1. ~\large \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cline{9-16} \circ&\times&\circ &\times&\circ&\times&\circ&\times \cline{9-16}\end{array}$

$2. ~\large \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cline{9-16} \circ&\times&\circ &\times&\circ&\times&\times&\circ\cline{9-16}\end{array}$

$3. ~\large \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cline{9-16} \circ&\times&\circ &\times&\times&\circ&\times&\circ \cline{9-16}\end{array}$

$4. ~\large \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cline{9-16} \circ&\times&\times &\circ&\times&\circ&\times&\circ \cline{9-16}\end{array}$

Получается всего 4 случая когда в первый день обязательно сдается какой-то экзамен, т.к  если поставить крестики на  на 2,3,4 дни то на оставшиеся 4 дня можно поставить 2 кружочка, а четвертый мы уже никуда поставить не сможем

Теперь посмотрим на случай когда в первый день не проводился  экзамен, значит нам надо  расположить 4 кружочка в 7 ячеек, а это можно сделать единственным способом

$5. ~\large \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cline{9-16} \times&\circ&\times &\circ&\times&\circ&\times&\circ \cline{9-16}\end{array}$

Рассматривать дальнейшие случаи смысла нету, поскольку если бы первый экзамен провелся в 3 день, то в оставшиеся дни в которых можно проводить экзамены, мы не сможем провести 3 экзамена так чтобы два дня подряд не сдавались экзамены

По итогу есть пять конфигураций, при которых можно проводить экзамены, т.к все экзамены разные, то их еще можно поменять
4! = 24 способами, поэтому есть 5·24 = 120 способов провести 4 экзамена, так чтобы ни в какие два дня подряд не сдавались бы экзамены.