Question

(1 + √3.і)^10 Обчислити

Answer 1

Ответ: $- 512 - 512\sqrt{3}i$

Пошаговое объяснение:

Обчислити (1 + √3.і)^10

Запись комплексного числа в тригонометрической форме :

z = r·(cosφ + isinφ)

Где

r - модуль комплексного числа

φ - аргумент комплексного числа

Найдем модуль для числа $1+\sqrt{3}i$

$r = |z| = \sqrt{1 + (\sqrt{3}) ^2} = 2$

$1+\sqrt{3}i = 2\bigg (\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3} }{2} i \bigg ) = 2\bigg ( \cos \dfrac{\pi }{3} + i \sin \dfrac{\pi }{3} \bigg)$

Теперь мы можем воспользоваться формулой Муавра :

$z^n = \big ( r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \big )^n = r^n \cdot (\cos n \varphi + i \sin n \varphi )~ , ~ n \in \mathbb N$

$\displaystyle (1+\sqrt{3}i)^{10} = 2^{10}\cdot \bigg ( \cos \dfrac{10\pi }{3} + i \sin \dfrac{10\pi }{3} \bigg) = \\\\\\ =1024 \cdot \bigg ( \cos \bigg ( 2\pi +\dfrac{4\pi }{3} \bigg ) + i \sin \bigg( 2\pi +\dfrac{4\pi }{3} \bigg ) \bigg) = \\\\\\\ = 1024\cdot \bigg ( \cos \dfrac{4\pi }{3} + i \sin \dfrac{4\pi }{3} \bigg) = 1024 \bigg (- \cos \frac{\pi }{3} -i \sin \frac{\pi }{3}\bigg ) =\\\\\\\ = 1024 \bigg ( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2} i \bigg ) = - 512 - 512\sqrt{3}i$

#SPJ1