Question

Укажіть проміжок, який містить усі корені рівняння: (x ^ 2 - 4)/(x - 4) = 12/(x - 4)

Укажіть проміжок, який не містить розв'язків нерівності: x(6 - x ^ 2) > 0

Answer 1

1. Розв'язок рівняння (x² - 4)/(x - 4) = 12/(x - 4) не може існувати при x = 4, оскільки в такому випадку знаменник стає рівним нулю. Тому треба виключити це значення.

Далі перетворимо рівняння:

(x² - 4)/(x - 4) = 12/(x - 4)

Ми бачимо, що (x - 4) є спільним знаменником, тому його можна скоротити:

(x² - 4) = 12

Тепер розв'яжемо отримане квадратне рівняння:

x² - 4 = 12

x² = 16

x = ±4

Отже, рівняння має два корені: x = 4 та x = -4.

2. Для розв'язання нерівності x(6 - x²) > 0 спростимо її:

x(6 - x²) > 0

Розглянемо знаки наступних виразів:

- x має змінюватися від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

- (6 - x²) визначає зміну знаку при x < -√6, x > √6 та зберігає один і той же знак при -√6 < x < √6.

Тепер давайте врахуємо обидва вирази разом:

- x має бути від'ємним або дорівнювати нулю при x < -√6 або x = 0.

- x має бути додатнім при -√6 < x < √6.

Отже, проміжками, які не містять розв'язків нерівності, є:

1. x < -√6

2. x > √6

3. x = 0

На проміжку -√6 < x < √6 рівняння x(6 - x²) > 0 виконується, тобто цей проміжок містить розв'язки нерівності.