Question

Знайти проміжки зростання і спадання функцій та точки екстремуму функції.

Answer 1

Ответ:

в объяснении

Объяснение:

1)

Точка разрыва функции х₁ = 0

Ищем точки экстремума

$\displaystyle y' = \bigg(\frac{(x-2)^2}{x^2} \bigg)'=\frac{((x-2)^2)'x^2}{x^4} -\frac{(x-2)^2(x^2)'}{x^4} =\frac{2x-4}{x^2} -2\frac{(x-2)^2}{x^3} =\\\\\\ = 4\frac{x-2}{x^3}$

$\displaystyle 4\frac{x-2}{x^3} =0;\quad x_0=2$   - стационарная точка  функции

Итак, имеем 3 интервала. Рассмотрим поведение функции на каждом интервале

(-∞; 0)   y'(x) > 0      функция возрастает

(0;2]       y'(x)< 0    функция убывает

[2; +∞)   y'(x)  > 0      функция возрастает      

В окрестности точки x₀ = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Точка x₀ = 2 - точка минимума.

2)   все делаем аналогично

$\displaystyle \bigg(-x(x-3)^2\bigg)'=(-x)'(x-3)^2+(-x)((x-3)^2)'=-(x-3)^2-x(2x-6)=\\\\\\=-x^2+6x-9-2x^2-2x^2+6x=-3(x^2-4x+3)=-3(x-1)(x-3)$

Стационарные точки х₁=1;   х₂=3

(-∞; 1]     y'(x)  < 0     функция убывает

[1; 3]       y'(x)  > 0     функция возрастает

[3; +∞)    y'(x)  < 0     функция убывает

В окрестности точки x₁ = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Значит, точка x₁ = 1 - точка минимума.

В окрестности точки x₂ = 3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Значит, точка x₂ = 3 - точка максимума.

3)

$\displaystyle y=\frac{1}{x} +\frac{2}{x^2} -\frac{4}{3}$

Точка разрыва функции х₁ = 0

$\displaystyle y'=\bigg(\frac{1}{x} +\frac{2}{x^2} -\frac{4}{3}\bigg)'=-\frac{1}{x^2} -\frac{4}{x^3} +\frac{12}{x^4} =\frac{-x^2-4x+12}{x^4} =\frac{(x-2)(x+6)}{x^4}$

Стационарные точки х₂ = -6;   х₃ = 2

(-∞; -6]     y'(x) < 0     функция убывает

[-6; 0)       y'(x)  > 0     функция возрастает

(0; 2]         y'(x)  > 0     функция возрастает

[2; +∞)       y'(x) < 0     функция убывает

В окрестности точки x₂ = -6 производная функции меняет знак с (-) на (+). Значит, точка x₂ = -6 - точка минимума.

В окрестности точки x₃ = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x₃ = 2 - точка максимума.