Question

Доказать, что сумма двух чисел 12 в степени 31 и 28 в степени 31 кратна 80- ти

Answer 1

$\displaystyle 12^{31}+28^{31}=(4\cdot 3)^{31}+(4\cdot 7)^{31}=4^{31}\cdot 3^{31}+4^{31}\cdot 7^{31}=\\\\4^{31}\cdot (3^{31}+ 7^{31})=4^{2}\cdot 4^{29}\cdot (3^{31}+ 7^{31})=16\cdot 4^{29}\cdot (3^{31}+ 7^{31})$

делится на 16.

Последние цифры последующих степеней 3:

{3, 9, 7, 1} - 4 цифры

31 : 4 = 7 r  3

(31 - показатель степени)

Остаток деления равен 3, поэтому последняя цифра $3^{31}$ равна 7.

(третья цифра от {3, 9, 7, 1})

Последние цифры последующих степеней 7:

{7, 9, 3, 1} - 4  цифры.

31 : 4 = 7 r  3

(31 - показатель степени)

Остаток деления равен 3, поэтому последняя цифра $7^{31}$ равна 3.

(третья цифра от {7, 9, 3, 1})

Последняя цифра номера $3^{31}+7^{31}$,  будет 0 (7+3=10), что означает, что оно делится на 5.

Число, которое делится на 16 и 5, делится на 80.