Даны координаты вершин треугольника АВС, Найти:
!) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВСиих угловые коэффициенты;
3) внутренний угол В в Радианах с точностью до 0,01;
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты СО;
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно
+ =.
стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой СР.
A(2; 2) B(5; 6) C(6; 4)
Ответы
Ответ:
1) Длина стороны АВ:
AV = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Учитывая координаты точек A(2, 2) и B(5, 6):
AB = √((5 - 2)^2 + (6 - 2)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
2) Уравнение прямой АВ:
Используем формулу для нахождения уравнения прямой через две точки:
y - y1 = m(x - x1), где m - угловой коэффициент прямой.
Учитывая координаты точек A(2, 2) и B(5, 6):
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 2) / (5 - 2) = 4 / 3
Заменяя координаты одной из точек (например, A(2, 2)) в уравнение, получаем:
y - 2 = (4 / 3)(x - 2)
3y - 6 = 4x - 8
4x - 3y + 2 = 0
Уравнение стороны ВС:
Аналогично находим угловой коэффициент для стороны ВС, используя координаты точек B(5, 6) и C(6, 4):
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 6) / (6 - 5) = -2 / 1 = -2
Теперь, заменяя координаты одной из точек (например, B(5, 6)) в уравнение, получаем:
y - 6 = -2(x - 5)
y - 6 = -2x + 10
2x + y - 16 = 0
3) Внутренний угол В:
Используем теорему косинусов, чтобы найти угол В:
cos(В) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)
Учитывая длины сторон AB = 5 и BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
и координаты точек B(5, 6) и C(6, 4):
cos(В) = (5^2 + (√((6 - 5)^2 + (4 - 6)^2))^2 - (√((6 - 2)^2 + (4 - 2)^2))^2) / (2 * 5 * √((6 - 5)^2 + (4 - 6)^2))
cos(В) = (25 + (√(1^2 + (-2)^2))^2 - (√(4^2 + 2^2))^2) / (10 * √(1^2 + (-2)^2))
cos(В) = (25 + (√5)^2 - (√20)^2) / (10 * √5)
cos(В) = (25 + 5 - 20) / (10 * √5)
cos(В) = 10 / (10 * √5)
cos(В) = 1 / √5
В = arccos(1 / √5)
Используя калькулятор, находим, что В ≈ 0.463 радиан (с точностью до 0.01).
4) Уравнение медианы АЕ:
Медиана АЕ делит сторону ВС пополам, поэтому точка М будет иметь координаты средней точки между B(5, 6) и C(6, 4):
M((5 + 6) / 2, (6 + 4) / 2) = (11 / 2, 10 / 2) = (5.5, 5)
Теперь, используем формулу для нахождения уравнения прямой через две точки:
y - y1 = m(x - x1), где m - угловой коэффициент, а (x1, y1) - координаты точки M(5.5, 5):
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 5) / (6 - 5) = -1
Заменяя координаты точки M(5.5, 5) в уравнение, получаем:
y - 5 = -1(x - 5.5)
y - 5 = -x + 5.5
x + y - 10.5 = 0
5) Уравнение и длина высоты СО:
Для нахождения уравнения прямой, проведенной из вершины С и перпендикулярной стороне АВ, необходимо знать ее угловой коэффициент и координату одной точки, через которую она проходит. Зная, что стороны АВ и ВС перпендикулярны, угловой коэффициент будет обратным числу, обратному угловому коэффициенту стороны АВ. Поэтому, угловой коэффициент прямой, проведенной через С и перпендикулярной АВ, будет 3 / 4 (обратное значение к 4 / 3).
Теперь найдем координату точки, через которую проходит эта прямая. С(6, 4) - вершина треугольника.
Теперь, используем формулу для нахождения уравнения прямой через точку и углового коэффициента:
y - y1 = m(x - x1), где m - угловой коэффициент (3 / 4), а (x1, y1) - координаты точки С(6, 4):
y - 4 = (3 / 4)(x - 6)
y - 4 = (3 / 4)x - (18 / 4)
4y - 16 = 3x - 18
3x - 4y + 2 = 0
Длина высоты СО равна расстоянию от точки С(6, 4) до прямой АВ, найденной в пункте 2.
Используем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой:
d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)
где A, B, C - коэффициенты уравнения прямой АВ (4, -3, 2), а (x1, y1) - координаты точки С(6, 4).
d = |(4 * 6) + (-3 * 4) + 2| / √(4^2 + (-3)^2)
d = |24 - 12 + 2| / √(16 + 9)
d = |14| / √25
d = 14 / 5 = 2.8
6) Уравнение прямой, которая проходит через точку Е и параллельна стороне АВ:
Угловой коэффициент прямой, параллельной АВ, будет равен угловому коэффициенту стороны АВ, т.е. 4 / 3.
Точка E(2, 2) лежит на этой прямой.
Теперь, используем формулу для нахождения уравнения прямой через точку и углового коэффициента:
y - y1 = m(x - x1), где m - угловой коэффициент (4 / 3), а (x1, y1) - координаты точки Е(2, 2):
y - 2 = (4 / 3)(x - 2)
3y - 6 = 4x - 8
4x - 3y + 2 = 0
Пошаговое объяснение: