Обчислити об'єм тетраедри з вершинами в точках А1 А2 А3 А4 і його висоту,опущену з вершини А4 на грань А1 А2 А3 А1(1,2,0) А2(3,0,-1) А3(5,2,6) А4(8,4,-9)
Ответы
Для обчислення об'єму тетраедра можна скористатися формулою:
V = (1/6) * |A1A2 · A1A3 × A1A4|,
де A1A2, A1A3, A1A4 - вектори, що задають сторони трикутника, а |A1A2 · A1A3 × A1A4| - потрійний добуток векторів.
Спочатку знайдемо сторони трикутника:
A1A2 = (3-1, 0-2, -1-0) = (2, -2, -1),
A1A3 = (5-1, 2-2, 6-0) = (4, 0, 6),
A1A4 = (8-1, 4-2, -9-0) = (7, 2, -9).
Далі обчислимо потрійний добуток:
A1A2 · A1A3 × A1A4 = (2, -2, -1) · (4, 0, 6) × (7, 2, -9).
Одержаємо вектор потрійного добутку:
(2, -2, -1) × (4, 0, 6) = (-2*6, -1*7-(-1)*4, 2*4-(-2)*0) = (-12, -7, 8).
Тоді об'єм тетраедра V = (1/6) * |(-12, -7, 8)| = (1/6) * √((-12)^2 + (-7)^2 + 8^2) = (1/6) * √(144 + 49 + 64) = (1/6) * √257 = √257/6.
Округлимо значення об'єму до найближчого цілого:
V ≈ 4.76.
Тепер обчислимо висоту, опущену з вершини А4 на грань А1А2А3. Вона буде паралельна вектору A1A2×A1A3, тому можемо використовувати проекцію вектора A1A4 на цей вектор.
Вектор A1A4 проекціюється на вектор A1A2×A1A3 за формулою:
projA1A4 = ((A1A4) · (A1A2×A1A3)) / |A1A2×A1A3|^2 * (A1A2×A1A3),
де (A1A4) · (A1A2×A1A3) - скалярний добуток векторів,
|A1A2×A1A3|^2 - квадрат довжини вектору A1A2×A1A3.
Обчислимо скалярний добуток:
(A1A4) · (A1A2×A1A3) = (7, 2, -9) · (-12, -7, 8) = 7*(-12) + 2*(-7) + (-9)*8 = -84 - 14 - 72 = -170.
Також oblrchshdlb A1A2×A1A3:
|A1A2×A1A3|^2 = (-12)^2 + (-7)^2 + 8^2 = 144 + 49 + 64 = 257.
Отже, projA1A4 = (-170) / 257 * (-12, -7, 8) = (2040/257, 1190/257, -1360/257) ≈ (7.9455, 4.6347, -5.2938).
Висота, опущена з вершини А4 на грань А1А2А3, дорівнює довжині цієї проекції:
h = √(7.9455^2 + 4.6347^2 + (-5.2938)^2) ≈ √(63 + 21.5122 + 28.0862) ≈ √(112.5984) ≈ 10.6185.
Округлимо значення висоти до найближчого цілого:
h ≈ 11.
Отже, об'єм тетраедра дорівнює приблизно 4.76, а висота, опущена з вершини А4 на грань А1А2А3, дорівнює приблизно 11.