Question

Допоможіть, будь ласка.

Знайти повну поверхню прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють a і b, а діагональ нахилена до площини основи під кутом α.

Найти полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны a и b, а диагональ наклонена к плоскости основания под углом α.

Answer 1

Ответ:

Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює:

$\bf 2(tg \alpha \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } (a + b) + ab)$ кв. од.

Объяснение:

Знайти повну поверхню прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють a і b, а діагональ нахилена до площини основи під кутом α.

Розв'язання

Кожна грань прямокутного паралелепіпеда є прямокутником.

У прямокутного паралелепіпеда бічне ребро (висота) перпендикулярне до площини основи (прямокутника ABCD), тому бічне ребро перпендикулярне до кожного відрізка, що лежить в площині основи, тобто CC₁⊥AC.

Так як CC₁⊥AC, то відрізок AC (діагональ квадрата) є ортогональною проекцією діагоналі призми AC₁, тому:

∠C₁AC=α – кут між діагоналлю призми і площиною основи і ΔC₁AC – прямокутний (∠ACC₁=90°).

1) З прямокутного трикутника ACD(∠D=90°), в якому AD = a, DC = b - катети, за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу АС - діагональ основи паралелепіпеда:

AC²=AD²+DC²

AC²=a²+b²

$AC = \sqrt{ {a }^{2} + {b}^{2} }$

2) Розглянемо прямокутний трикутник ACC₁(∠ACC₁=90°), в якому АС прилеглий катет до кута ∠С₁АС=α.

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо бічне ребро СС₁ паралелепіпеда:

$tg\angle CAC_1 = \dfrac{CC_1}{AC}$

CC₁ = AC • tg α

$CC_1 = tg \alpha \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

3) Площа повної поверхні - сума площ всіх граней паралелепіпеда.

S(пов) = S(біч) + 2 • S(осн)

S(біч) = Р(осн) • Н, де Н = СС₁

P(осн) =2(AD +DC) = 2(a+b)

S(біч) = $2(a + b)\cdot tg \alpha \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

S(осн) = AD•DC = ab

Отже, площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда становить:

$S = 2(tg \alpha \cdot(a + b)\cdot \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } + ab)$ кв. од.

#SPJ1