Question

Доведіть, що при всіх натуральних значеннях п значення виразу 3.8^2п+1 +62·21^n кратне 43​

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Требуется доказать, что при всех натуральных значениях n выражение

$\tt \large \boldsymbol {} 3 \cdot 8^{2 \cdot n+1}+62 \cdot 21^{n}$

кратно 43.

Информация. Бином Ньютона:

$\tt (a+b)^n=C_n^0 \cdot a^{n}+C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1+C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2+...+C_n^{n-1} \cdot a^{1} \cdot b^{n-1}+C_n^{n}\cdot b^{n},$

здесь натуральные числа

$\tt C_n^m=\dfrac{n!}{m! \cdot (n-m)!}$

биномиальные коэффициенты.

Доказательство. Преобразуем выражение:

$\tt \large \boldsymbol {} 3 \cdot 8^{2 \cdot n+1}+62 \cdot 21^{n}=3 \cdot 8\cdot 8^{2 \cdot n}+62 \cdot 21^{n}=24\cdot 64^{n}+62 \cdot 21^{n}=\\\\=2 \cdot (12 \cdot 64^{n}+31 \cdot 21^{n})=2 \cdot (12 \cdot (43+21)^{n}+31 \cdot 21^{n}).$

Покажем, что

$\tt \large \boldsymbol {} 12 \cdot (43+21)^{n}+31 \cdot 21^{n}$

кратно 43.

Применим бином Ньютона для первой скобки:

$\tt (43+21)^{n}=C_n^0 \cdot 43^{n}+C_n^1 \cdot 43^{n-1} \cdot 21^1+C_n^2 \cdot 43^{n-2} \cdot 21^2+...+\\\\+C_n^{n-1} \cdot 43^{1} \cdot 21^{n-1}+C_n^{n}\cdot 21^{n}= \\\\=43 \cdot ( C_n^0 \cdot 43^{n-1}+C_n^1 \cdot 43^{n-2} \cdot 21^1+C_n^2 \cdot 43^{n-3} \cdot 21^2+...+C_n^{n-1} \cdot 21^{n-1})+C_n^{n}\cdot 21^{n}=\\\\=43 \cdot A+C_n^{n}\cdot 21^{n},$

здесь ввели обозначение

$\tt A=( C_n^0 \cdot 43^{n-1}+C_n^1 \cdot 43^{n-2} \cdot 21^1+C_n^2 \cdot 43^{n-3} \cdot 21^2+...+C_n^{n-1} \cdot 21^{n-1}).$

Тогда (с учётом $\tt C_n^n=1$)

$\tt 12 \cdot (43+21)^{n}+31 \cdot 21^{n}=12 \cdot (43 \cdot A+C_n^{n}\cdot 21^{n})+31 \cdot 21^{n}= \\\\=12 \cdot 43 \cdot A+12 \cdot 1 \cdot 21^{n}+31 \cdot 21^{n}=12 \cdot 43 \cdot A+12 \cdot 21^{n}+31 \cdot 21^{n}=\\\\=12 \cdot 43 \cdot A+(12+31) \cdot 21^{n}=12 \cdot 43 \cdot A+43 \cdot 21^{n}=\\\\=43 \cdot (12 \cdot A+21^{n}).$

Так как последнее выражение содержит общий множитель 43, то выражение кратно 43, что и требовалось доказать.

#SPJ1