Question

Вектори е1, ё2,ё3, і ї задані своїми координатами в деякому базисі. Показати, що вектори е, ,ё,, ё, самі утворюють базис і знайти координати вектора Ї в цьому базисі.

е1 (5;1;2).
е2(1;-2;4)
е3(5;-2;4)
х(18;-3;13)

Answer 1

Для того чтобы показати, що вектори e1, e2, і e3 утворюють базис, нам потрібно переконатися, що вони лінійно незалежні. Ми можемо використовувати метод гауссової елімінації для цього. Давайте складемо розширену матрицю з цими векторами та спробуємо звести її до трикутної форми:

```
[5 1 5 | x]
[1 -2 -2 | y]
[2 4 4 | z]
```

Давайте спростимо цю матрицю:

1. Помножимо перший рядок на -1/5 і додамо його до другого рядка:
```
[5 1 5 | x]
[0 -2.2 -4.2 | y - 0.2x]
[2 4 4 | z]
```

2. Помножимо перший рядок на -2 і додамо його до третього рядка:
```
[5 1 5 | x]
[0 -2.2 -4.2 | y - 0.2x]
[0 2 -6 | z - 0.6x]
```

3. Розділимо другий рядок на -2.2:
```
[5 1 5 | x]
[0 1 1.909 | (y - 0.2x) / -2.2]
[0 2 -6 | z - 0.6x]
```

4. Віднімемо другий рядок від третього:
```
[5 1 5 | x]
[0 1 1.909 | (y - 0.2x) / -2.2]
[0 0 -9.818 | (z - 0.6x) - 2 * (y - 0.2x) / -2.2]
```

Тепер ми маємо матрицю в трикутній формі, і можемо побачити, що вектори e1, e2, і e3 є лінійно незалежними.

Тепер давайте знайдемо координати вектора Ї в цьому базисі. Ми можемо використати метод зворотньої підстановки:

З останнього рядка матриці ми отримуємо:
-9.818 * x = (z - 0.6x) - 2 * (y - 0.2x) / -2.2

З цього можна знайти x:
x = (z + 2 * (y - 0.2x) / -2.2) / 9.818

Після знаходження x, можемо знайти y за допомогою другого рядка матриці:
y = -2.2 * (y - 0.2x) / 1.909

Після знаходження x і y, можемо знайти z з першого рядка матриці:
z = x - 5 * x - 5 * (y - 0.2x) / 1.909

Таким чином, ми можемо знайти координати вектора Ї в цьому базисі.