Question

Використовуючи правила Лопіталя обчислити границі.

Answer 1

Ответ:

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределённостей  

вида 0/0  и  ∞/∞  .  

Применяем правило Лопиталя в 1 примере 3 раза .

$\displaystyle \bf 1)\ \ \lim\limits _{x \to 2}(2-x)\cdot tg\dfrac{\pi x}{4}=\Big[0\cdot \infty\Big]=\lim\limits _{x \to 2}\dfrac{tg\dfrac{\pi x}{4}}{\dfrac{1}{2-x}}=\Big[\frac{\infty }{\infty }\Big]=\lim\limits _{x \to 2}\frac{\dfrac{1}{cos^2\frac{\pi x}{4}}\cdot \dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{1}{(2-x)^2}}=$

$\bf \displaystyle =\frac{\pi }{4}\cdot\lim\limits _{x \to 2}\frac{(2-x)^2}{cos^2\dfrac{\pi x}{4}}=\Big[\, \frac{0}{0}\, \Big]=\frac{\pi }{4}\cdot \lim\limits _{x \to 2}\frac{-2\cdot(2-x)}{-2\cdot cos\dfrac{\pi x}{4}\cdot sin\dfrac{\pi x}{4}\cdot \dfrac{\pi }{4}}=$  

$\bf \displaystyle =2\cdot \lim\limits _{x \to 2}\frac{2-x}{sin\dfrac{\pi x}{2}}=\Big[\, \frac{0}{0}\, \Big]=2\cdot \lim\limits _{x \to 2}\frac{-1}{cos\dfrac{\pi x}{2}\cdot \dfrac{\pi }{2}}=-\dfrac{4}{\pi }\cdot \lim\limits _{x \to 2}\frac{1}{cos\dfrac{\pi x}{2}}=\\\\\\=-\frac{4}{\pi }\cdot \frac{1}{-1}=\frac{4}{\pi }$    

$\displaystyle \bf 2)\ \ \lim\limits _{x \to \frac{\pi}{2}}\Big(tgx-\frac{1}{cosx}\Big)=\Big[\, \infty -\infty \Big]=\lim\limits _{x \to \frac{\pi}{2}}\Big(\frac{sinx-1}{cosx}\Big)=\Big[\frac{0}{0}\Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to \frac{\pi }{2}}}\dfrac{cosx}{-sinx}=\Big[\frac{0}{-1}\Big]=0$