Question

Помогите решить задачу, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Расстояние от вершины С до общей точки трёх плоскостей А₁КР, ABD и КРС₁    равно     $\displaystyle \bf \frac{3\sqrt{26} }{2}$.

Объяснение:

1.061. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 точка К принадлежит ребру ВВ₁ и ВК : КВ₁ = 5 : 1, точка Р принадлежит ребру DD₁ и DP : PD₁ = 1 : 5. Найдите расстояние от вершины С до общей точки трёх плоскостей А₁КР, ABD и КРС₁.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб;

AD = 6;

К ∈ ВВ₁;   ВК : КВ₁ = 5 : 1;

Р ∈ DD₁;  DP : PD₁ = 1 : 5.

Найти: расстояние от вершины С до общей точки трёх плоскостей А₁КР, ABD и КРС₁.

Решение:

Найдем точку пересечения плоскостей А₁КР, ABD и КРС₁.

А₁КР ∩ КРС₁ = КР.

В и D - проекции К и Р на плоскость ABD соответственно.

⇒ КР ∩ ABD = O

CO - искомый отрезок.

ВК : КВ₁ = 5 : 1   ⇒   ВК = 5;  КВ₁ =1;

DP : PD₁ = 1 : 5   ⇒   DP =1;  PD₁ = 5

Рассмотрим ΔDPО и ΔBKO - прямоугольные;

∠ВОК - общий.

⇒   ΔDPО ~ ΔBKO (по двум углам)

BD = 6√2 (диагональ квадрата ABCD)

Пусть DO = x

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{DP}{BK}=\frac{OD}{OB}\\ \\ \frac{1}{5} =\frac{x}{x+6\sqrt{2} } \\\\x+6\sqrt{2} =5x\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x=\frac{3\sqrt{2} }{2}$

DO = 3√2/2

Рассмотрим ΔDCO.

∠BDC = 45° (диагональ квадрата - биссектриса угла)

⇒ ∠СDO = 180° - ∠BDC = 135° (смежные)

DO = 3√2/2;   DC = 6

• Теореме косинусов:
• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$\displaystyle OC^2=DC^2+OD^2-2DC\cdot OD\cdot cos135^0\\\\OC^2=36+\frac{9\cdot2}{4} -2\cdot6\cdot\frac{3\sqrt{2} }{2} \cdot\left(-\frac{\sqrt{2} }{2}\right)\\ \\OC^2=\frac{117}{2}\\ \\OC=\frac{3\sqrt{13} }{\sqrt{2} } =\frac{3\sqrt{26} }{2}$

Расстояние от вершины С до общей точки трёх плоскостей А₁КР, ABD и КРС₁    равно     $\displaystyle \bf \frac{3\sqrt{26} }{2}$.