Question

11.3 Найдите сумму биноминальных коэффициентов бинома Ньютона (x+y)¹¹​

Answer 1

Ответ:

Сумма биноминальных коэффициентов бинома Ньютона (x+y)¹¹​ равна 2048

Решение:

Распишем заданное выражение по формуле бинома Ньютона:

$(x+y)^{11}=\sum\limits_{k=0}^{11}C_{11}^ka^{11}b^{11-k}$

В задаче речь идет о сумме биноминальных коэффициентов этого выражения, то есть о следующей сумме:

$S=\sum\limits_{k=0}^{11}C_{11}^k$

Одно из свойств биноминальных коэффициентов утверждает, что эта сумма равна степени двойки:

$S=\sum\limits_{k=0}^{11}C_{11}^k=2^{11}=\boxed{2048}$

Элементы теории:

Бином Ньютона:

$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^nb^{n-k}$

Рассмотрев это соотношение при $a=b=1$, можно получить одно из свойств биноминальных коэффициентов:

$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^k\cdot 1^n\cdot 1^{n-k}$

Так как $1^n=1$ и $1^{n-k}=1$, то:

$\sum\limits_{k=0}^nC_n^k=2^n$

В расписанном виде эта формула имеет вид:

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$