Початкова фаза коливань точки х0=0, період коливань Т = 1 с. Знайти найближчі моменти часу, в які зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення
Ответы
За період одного коливання точка повернеться в своє початкове положення, тому знайдемо значення зміщення, швидкості та прискорення у дві точки відносно початку коливань (наприклад, через $\frac{1}{4}$ та $\frac{3}{4}$ періоду коливань) і порівняємо їх з амплітудними значеннями.
Амплітудне значення зміщення дорівнює початковій фазі і дорівнює нулю. Тому шукатимемо часи, коли:
$$|x(t)| < \frac{1}{2} |x(0)| = 0 $$
За законом руху гармонійного осцілятора, зміщення точки можна записати так:
$$x(t) = A \sin (\omega t + \phi),$$
де $A$ - амплітуда коливань, $\omega$ - циклічна частота ($\omega = 2 \pi /T$), $\phi$ - початкова фаза. За умовою задачі $x(0) = 0$ і $T = 1$, тому $x(t) = A \sin (2 \pi t + \phi)$.
Амплітудне значення швидкості можна знайти знаючи, що швидкість є похідною від зміщення:
$$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \omega A \cos (\omega t + \phi).$$
Амплітудна швидкість дорівнює $\omega A$, тому шукатимемо часи, коли:
$$|v(t)| < \frac{1}{2} \omega A $$
Амплітудне значення прискорення можна знайти знаючи, що прискорення є похідною від швидкості:
$$a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega^2 A \sin (\omega t + \phi).$$
Амплітудне прискорення дорівнює $\omega^2 A$, тому шукатимемо часи, коли:
$$|a(t)| < \frac{1}{2} \omega^2 A $$
Підставимо значення $\omega$ і $A$ і отримаємо:
$$|x(t)| < 0 $$
$$|v(t)| < \pi $$
$$|a(t)| < 2 \pi^2 $$
Оскільки зміщення точки коливається гармонійно, то значення зміщення, швидкості та прискорення є симетричними відносно середини періоду, тому шукатимемо значення у точках $\frac{1}{4}$ та $\frac{3}{4}$ періоду коливань.
Таким чином, найближчі моменти часу, в які зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення будуть:
Зміщення:$$x\left(\frac{1}{4}\right) = A \sin \left(\frac{\pi}{2} + \phi\right) = A \cos \phi$$$$x\left(\frac{3}{4}\right)