Question

Знайти асимптоти кривої.

Answer 1

Ответ:

x = 0 —  вертикальная асимптота

y = 2x + 5 —  наклонная  асимптота

Объяснение:

$y = \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x}$

Поскольку

D(y) : x ≠ 0, то  x = 0 —  вертикальная асимптота

Найдем наклонную асимптоту, с помощью формул

$\boldsymbol {y = kx + b }\\\\\displaystyle \boldsymbol {k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} ~ ; ~b = \lim_{x \to \infty}\big(f(x)-kx \big )}$

$\displaystyle k = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x\cdot x} =\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \bigg ( 2 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2} \bigg ) = \\\\\ =2 + 0 - 0 = 2$

$\displaystyle b = \lim_{x \to \infty}\bigg ( \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x} - 2\cdot x\bigg ) = \lim_{x \to \infty}\bigg ( \dfrac{2x^2 + 5x - 1-2x^2}{x} \bigg ) = \\\\\\\ = \lim_{x \to \infty}\bigg ( \dfrac{5x - 1}{x} \bigg ) = \lim_{x \to \infty}\bigg ( 5 - \frac{1}{x} \bigg ) = 5 - 0 = 5$

⇒  мы получили наклонную  асимптоту  y = 2x + 5