Question

Используя правило нахождения производной функции по определению, вычислите

$\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h^2) - f(1)}{h}$

если f'(1) = 3

Answer 1

Ответ:

0.

Объяснение:

Как известно,  $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\Rightarrow$

 $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h^2)-f(1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(1+h^2)-f(1)}{h^2}\cdot h\right)=\\ =\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h^2)-f(1)}{h^2}\cdot \lim\limits_{h\to 0}h=f'(1)\cdot 0=3\cdot 0=0.$

Если есть сомнения в правильности выкладки, можете сделать так:

 $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h^2)-f(1)}{h^2}=||h^2=\Delta x||=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=f'(1).$