Question

Доказать тождество (задание на фото)

Answer 1

Бином Ньютона:

$\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^k$

Следовательно:

$\displaystyle (1+x)^{2n} = \sum_{s=0}^{2n} C_{2n}^{s} x^s$

$\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^k \sum_{m=0}^{n} C_{n}^{m} x^m$

$\displaystyle \sum_{s=0}^{2n} C_{2n}^{s} x^s = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^k \sum_{m=0}^{n} C_{n}^{m} x^m$

$\displaystyle \sum_{s=0}^{2n} C_{2n}^{s} x^s = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{n} C_{n}^{k} C_{n}^{m} x^{k+m}$

Коэффициенты при члене xⁿ равны:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} C_{n}^{n-k} = C_{2n}^{k}$

Очевидно, что:

$\displaystyle C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$

Тогда:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (C_{n}^{k})^2 = C_{2n}^{n}$

QED