Question

Розв’яжіть рівняння 2x²-3x=2x√(x²-3x)+1 ​.

Answer 1

Відповідь:

-1/5

або

-0.2

Покрокове пояснення:

$x^ 2 -3x$ завжди не від'ємне бо знаходиться під коренем

Нехай $t^2 = x^2 - 3x \geq 0$

Тоді $2x^2 - 3x = 2x \sqrt{x^2 - 3x} + 1$ перепишемо як

$x^2 + t = 2x\sqrt{t^2} + 1$

Ми не знаємо чи від'ємне чи додатнє t. Якщо t дотатнє, то корінь з його квадрату буде просто t, якщо від'ємне -t, бо число з під кореня парного показника завжди додатнє.

Перший випадок $t \geq 0$

1)

$x^2 + t^2 = 2xt + 1\\x^2 + t^2 - 2xt - 1 = 0\\t^2 - 2xt + (x^2 - 1)\\D = (-2x)^2 - 4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4x^2 + 4 = 4\\\sqrt{D} = 2\\t_1 = \frac{2x - 2}{2} = x - 1\\t_2 = x + 1$

Другий випадок $t < 0$

2)

$x^2 + t^2 = -2xt + 1\\x^2 + t^2 + 2xt - 1 = 0\\t^2 + 2xt + (x^2 - 1) = 0\\D = (2x)^2 - 4(x^2 - 1) = 4\\\sqrt{D} = 2\\t_3 = \frac{-2x - 2}{2} = -x - 1\\t_4 = -x + 1$

За першим випадком знайдемо значення x

1)

$x^2 - 3x = (t_1) ^ 2 = (x-1)^2\\x^2 - 3x = x^2 - 2x + 1\\-3x = -2x + 1\\0 = x + 1\\x + 1 = 0\\x = -1\\t_1 = x - 1 = -2 < 0\\t_1 < 0$

Що не можливо

$x^2 - 3x = (t_2)^2 = (x + 1) ^ 2\\x^2 - 3x = x^2 + 2x + 1\\-3x = 2x + 1\\0 = 5x + 1\\5x = -1\\x = -\frac{1}{5} \\t_2 = x+1 = -\frac{1}{5} + 1 = \frac{4}{5} > 0\\t_2 > 0$

Що можливо. Один з коренів рівний $-\frac{1}{5}$

2)

$x^2 - 3x = (t_3)^2 = (-x-1)^2\\x^2 - 3x = x^2 +2x + 1\\x = -\frac{1}{5} \\t_3 = -x -1 = -(-\frac{1}{5}) - 1 =\frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5} < 0\\t_3 < 0$

Що можливо. Але про цей корінь вже відомо.

$x^2 - 3x = (t_4)^2 = (-x+1)^2\\x^2 - 3x = x^2 -2x + 1\\x = -1\\t_4 = -x + 1 = -(-1) + 1 = 2 > 0\\t_4 > 0$

Що не можливо

Отже існує один корінь цього рівняння рівний $-\frac{1}{5}$ або, що то саме, -0.2.

ВІдповідь була перевірена за допомогою системи комп'ютерної алгебри XCAS, тому помилки у відповіді не має.