Question

Найти производную на фото

Answer 1

Решение .

Найти производную сложной функции .

Чтобы найти производную сложной функции , надо производную внешней функции по внутреннему аргументу умножить на производную внутренней функции .

$\bf y=ln^3\, tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\ \ ,\ \ \ (u^3)'=3\cdot u^2\cdot u'\ \ ,\ \ u=ln\Big( tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\Big)\\\\\\y'=3\, ln^2\Big( tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\Big)\cdot \Big(ln\, tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\Big)'=\\\\\\{}\qquad \ \ \qquad (ln\, u)'=\dfrac{1}{u}\cdot u'\ \ ,\ \ \ \ u=tg\dfrac{x-1}{1-2x}\\\\\\=3\, ln^2\Big(tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\Big)\cdot \dfrac{1}{tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \Big(tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\Big)'=$  

                 $\bf (tg\, u)'=\dfrac{1}{cos^2u}\cdot u'\ \ ,\ \ \ \ u=\dfrac{x-1}{1-2x}$      

$\bf =3\, ln^2\Big(tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\Big)\cdot \dfrac{1}{tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \dfrac{1}{cos^2\dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \Big(\dfrac{x-1}{1-2x}\Big)'=\\\\\\{}\qquad \qquad \qquad \Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$  

$\bf =3\, ln^2\Big(tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\Big)\cdot \dfrac{1}{tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \dfrac{1}{cos^2\dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \dfrac{1\cdot (1-2x)-(x-1)\cdot (-2)}{(1-2x)^2}=\\\\\\=3\, ln^2\, tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\cdot \dfrac{1}{tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \dfrac{1}{cos^2\dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \dfrac{-1}{(1-2x)^2}=\\\\\\=3\, ln^2\, tg\, \dfrac{x-1}{1-2x}\cdot \dfrac{1}{sin\, \dfrac{x-1}{1-2x}\cdot cos\dfrac{x-1}{1-2x}}\cdot \dfrac{-1}{(1-2x)^2}=$  

$\bf =-6\ ln^2\ tg\ \dfrac{x-1}{1-2x}\ \cdot \dfrac{1}{(1-2x)^2\cdot sin\, \dfrac{2x-2}{1-2x}}$