Question

30 баллов!
К числу 13 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось четырёхзначное число, которое кратно 15 и не кратно 10.

Answer 1

Ответ:

3135, 6135 или 9135

Решение:

После приписывания цифр наше число будет иметь вид *13*.

1) Определим последнюю цифру:

По условию образовавшееся четырехзначное число должно быть кратно 15. Так как $15=3\cdot5$, то наше число должно делиться на 3 и делиться на 5. Кроме этого, известно, что наше число не должно быть кратно 10.

Итак, наше число должно делиться на 5, но не должно делиться на 10.

Вспоминая признак делимости на 5, можно сказать, что его последняя цифра должна быть 0 или 5, а вспоминая признак делимости на 10, можно сказать, что его последняя цифра должна быть не 0.

Значит, последняя цифра нашего числа должна быть 5.

Таким образом, наше число имеет вид *135.

2) Определим первую цифру:

Как было отмечено выше, наше число должно делиться на 3.

Вспоминая признак делимости на 3, можно сказать, что сумма цифр нашего числа должна делиться на 3.

Найдем сумму трех известных цифр нашего числа:

1+3+5=9

Эта сумма уже делится на 3. Значит, неизвестная цифра также должна делиться на 3.

Цифры, делящиеся на 3, это: 3, 6, 9. Заметим, что про цифру 0 также можно сказать, что она делится на 3, однако цифра 0 не может стоять в начале нашего числа, так как в этом случае число не будет четырехзначным.

Таким образом, имеется три варианта: 3135, 6135, 9135.

Элементы теории:

Признак делимости на 5: Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.

Признак делимости на 10: Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Признак делимости на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3.