Задано функцію f(x) = x²-3x- 4
1) Знайдіть суму усіх цілих розв'язків нерівності (x - 6)²f(x) ≤ 0.
2) 2) Знайдіть суму усіх цілих розв'язків нерівності f(x)/(x-2)² ≤0
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цих нерівностей, спочатку знайдемо корені функції f(x):
1) Функція f(x) = x² - 3x - 4 може бути розв'язана за допомогою факторизації:
f(x) = (x - 4)(x + 1)
Знайдемо корені цієї функції:
x - 4 = 0 => x = 4
x + 1 = 0 => x = -1
Отже, функція має два корені: x = 4 та x = -1.
2) Функцію f(x) можна поділити на (x - 2)², якщо x ≠ 2:
f(x)/(x - 2)² = (x² - 3x - 4) / (x - 2)²
Тепер перевіримо, коли ця функція менше або дорівнює нулю:
(x² - 3x - 4) / (x - 2)² ≤ 0
Тепер розглянемо інтервали, де ця нерівність може виконуватися:
- Інтервал 1: x < -1. Тут (x - 4) < 0 і (x + 1) < 0, тобто f(x) < 0, і (x - 2)² > 0. Таким чином, f(x)/(x - 2)² > 0 на цьому інтервалі.
- Інтервал 2: -1 < x < 2. Тут (x - 4) < 0 і (x + 1) > 0, тобто f(x) > 0, і (x - 2)² > 0. Таким чином, f(x)/(x - 2)² < 0 на цьому інтервалі.
- Інтервал 3: x > 2. Тут (x - 4) > 0 і (x + 1) > 0, тобто f(x) > 0, і (x - 2)² > 0. Таким чином, f(x)/(x - 2)² < 0 на цьому інтервалі.
Отже, сума усіх цілих розв'язків нерівностей буде така:
1) Для (x - 6)²f(x) ≤ 0: Оскільки корені функції -1 і 4 не лежать в інтервалі [6 - r, 6 + r] для жодного цілого r, то ця нерівність не має цілих розв'язків.
2) Для f(x)/(x - 2)² ≤ 0: Ця нерівність має цілі розв'язки тільки на інтервалі -1 < x < 2. Отже, сума цілих розв'язків буде сумою цілих чисел в цьому інтервалі, які відповідають умові нерівності.
Сума цілих розв'язків на інтервалі -1 < x < 2 дорівнює -1 + 0 + 1 = 0.
Ответ:
**1. Знайдіть суму усіх цілих розв'язків нерівності (x - 6)²f(x) ≤ 0.**
Розкладемо на множники:
```
(x - 6)²f(x) ≤ 0
(x - 6)²(x + 1)(x - 4) ≤ 0
```
Розглянемо окремо кожен множник:
* (x - 6)² ≥ 0 для всіх x.
* (x + 1) ≤ 0 для x ≤ -1.
* (x - 4) ≤ 0 для x ≤ 4.
Отже, нерівність виконується в області, обмеженій точками -1, 4 і 6.
Цілі розв'язки цієї області: -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6.
Сума цих розв'язків:
```
-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 21
```
Відповідь: **21**
**2. Знайдіть суму усіх цілих розв'язків нерівності f(x)/(x-2)² ≤0.**
Розкладемо на множники:
```
f(x)/(x-2)² ≤ 0
(x + 1)(x - 4)/(x-2)² ≤ 0
```
Розглянемо окремо кожен множник:
* (x + 1) ≤ 0 для x ≤ -1.
* (x - 4) ≤ 0 для x ≤ 4.
Отже, нерівність виконується в області, обмеженій точками -1 і 4.
Цілі розв'язки цієї області: -1, 0, 1, 2, 3.
Сума цих розв'язків:
```
-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 7
```
Відповідь: **7**
Объяснение:
У першому випадку ми використали те, що квадрат будь-якого числа завжди невід'ємний. У другому випадку ми використали те, що знаменник дробу повинен бути невід'ємним для того, щоб дріб був меншим або дорівнював 0.