Найдите наименьшее натуральное число, которое не менее, чем четырьмя способами представляется в виде (20a+23b), где a и b – натуральные числа.
Ответы
Возьмем (a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4). Так как число имеет форму (20a + 23b) то мы знаем, что должно быть одно и тоже число, а соответственно оно имеет одинаковую делимость.
Проверим делимость на 20
(20a + 23b) mod 20 = 23b mod 20 = (20b + 3b) mod 20 = (23 mod 20)b mod 20 = 3b mod 20 = 3(b mod 20) mod 20
Соответственно у всех b1, b2, b3, b4 одинаковая делимость на 20, а соответственно для произвольных i, j из множества {1,2,3,4} верно
bi - bj = 20k, где k целое число
Зеркально для a
ai - aj = 23k
Так как мы хотим найти минимальные числа, то разница между двумя соседними(первым и вторым например) должна быть минимальна, тогда k для них равно 1 или -1, а если взять модуль(абсолютное значение), то пока можно обойтись без неопределенности в знаке.
|a1 - a2| = 23, ...
|b1 - b2| = 20, ...
Теперь видно, если мы хотим сохранить равенство записей, то одно число должно увеличиваться, а другое уменьшаться. Пускай a уменьшаются, а b увеличиваются.
a1 - a2 = 23, ...
b2 - b1 = 20, ...
Тогда a4 наименьшее число среди a, а b1 наименьшее число среди b. Возьмем их как наименьшие натуральные числа, то есть 1. Тогда
a1 = (23 * 3 + 1), a2 = (23 * 2 + 1), a3 = (23 + 1), a4 = 1
b1 = 1, b2 = (20 + 1), b3 = (20 * 2 + 1), b4 = (20 * 3 + 1)
Тогда возьмем i, j из множества {0, 1, 2, 3} и такие, что i + j = 3
20a + 23b = 20 * (23 * i + 1) + 23 * (20 * j + 1) = 20*23 * i + 20 + 23 * 20 * j + 23 = 20 * 23 * (i + j) + 20 + 23 = 20 * 23 * 3 + 20 + 23 = 1423
Вот и получили искомое число