Question

1) знайти область визначення функції
2) знайти (якщо вони існують) точки перетину графіка з координатними осями.
3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.
4) знайти точки розриву та дослідити їх

Answer 1

Ответ:

1) D(у) = {x ∈ R: x≠1; x≠(-1)}

2) пересечение с осями в одной точке (0; 0)

3) функция не периодическая;

функция нечетная

4) функция терпит разрыв в точках х = 0 и х = (-1)

точка х=1  - точка  разрыва II рода

точка х=(-1)  - точка  разрыва II рода

Объяснение:

1)

• Область определения функции - множество всех значений аргумента, на котором функция существует или определена.

1-x² ≠ 0     x ≠ ±1

D(у) = {x ∈ R: x≠1; x≠(-1)}

2)

Пересечение с осью ОХ

у=0      при х = 0  ⇒ точка (0;0)

Пересечение с осью ОY

при  x = 0    у = 0 ⇒ точка (0;0)

3)

• Периодичная функция - это  функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, называемый периодом
• f(x−T) = f(x) = f(x+T)

данная функция не является периодической.

• Четность f(-x) = f(x)

• Нечетность f(-x) = -f(x)

$\displaystyle y(-x) = \frac{(-x)^3}{1-(-x)^2} =-\frac{x^3}{1-x^2} =-y(x)$

функция нечетная

4)

функция терпит разрыв в точках х = 1 и х = (-1)

Определим пределы функции справа и слева для этих точек

точка х=1, предел слева

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \lim_{x \to 1^-} x^3* \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x^2}\\\\\\\lim_{x \to 1^-} x^3=1\\\\\\\lim_{x \to 1^-}1-x^2=0;\quad (1-x^2) > 0; \quad \Rightarrow \; \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x^2}=+\infty\\\\\\ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x^2}=1*\infty=\infty$

Если в точке предел слева или справа не существует или равен бесконечности - это точка разрыва II рода.

точка х= (-1), предел слева

$\displaystyle \lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \lim_{x \to -1^-} x^3* \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{1-x^2}\\\\\\\lim_{x \to -1^-} x^3=-1\\\\\\\lim_{x \to -1^-}1-x^2=0;\quad (1-x^2) < 0; \quad \Rightarrow \; \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{1-x^2}=-\infty\\\\-1*(-\infty)=\infty\\\\\\ \lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \infty$

также точка разрыва II рода