Question

Допоможіть будь ласка.
Вікно має форму прямокутника, яке зверху закінчується півкругом. Яким має бути радіус півкруга (R півкруга), щоб при заданому периметру p вікно мало найбільшу площу.

Answer 1

Ответ:

r=P/(4+2π)

Пошаговое объяснение:

здесь у нас постоянная известная величина это периметр P=const. Но периметр сам зависит от радиуса свода окна r:

P=2b+a+2πr; a=2r ⇒ P=2b+2r+2πr ⇒ b=(P-2r-2πr)/2;

Ну а площадь окна:

S(r)=a*b+πr²;

S(r)=2r*(P-2r-2πr)/2+πr²; получили функцию одного переменного. Найдем точки экстремума:

вначале немного преобразуем функцию (для удобства)

S(r)=(2Pr-4r²-4πr²+2πr²)/2;

S(r)=(2Pr-4r²-2πr²)/2;

S(r)=Pr-2r²-πr²;

S(r)= -(2+π)r²+Pr; берем производную

S'(r)=-2(2+π)r+P; S''(r)=-2(2+π)<0 проверяем, что это именно максимум

S'(r)=0; -2(2+π)r+P=0; ⇒ r=(-P)/(-2(2+π)); ⇒ r=P/(4+2π); приравниваем производную к нулю, и находим значение радиуса